如果没有发现连分数的性质,佩尔方程能够得到完整的解决吗?

感觉很多数学物理问题纯粹是缺乏优秀的工具,而不是需要巧妙的思维

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3个答案
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方弦科学松鼠会成员,信息学硕士生

2013-11-08 06:05

在数学中,思想和工具本来就是相辅相成。从思想可以发展出工具,而工具的应用也会激发思想。工具和思想很多时候并没有很明显的区分,某些工具其实就是一套系统化的思想,而某些看上去很宽泛的思想也可以像工具那样套到很多问题上。

再说了,第一个做出来的人,肯定是有很好的想法,后来才慢慢变成一套系统化的工具的。就像代数组合里置换群的组合表示论,也是很多东西一点一点堆出来的。Schensted的对应,Schutzenberger的jeu de taquin,一开始都是像神一般的想法,后来才慢慢变成工具的。你觉得连分数是工具,我觉得其实是后见之明。从当年一开始做的人的眼光看来,大概觉得他们的东西很难搞成工具。从现在的眼光看来,因为我们知道的东西多了,自然知道他们的想法其实是在很多地方都用得上的,也就是工具。但这是后见之明。

回到佩尔方程的话,只能说,连分数是迟早会发现的东西,因为其实它是一个很基本的数学结构。比如说在组合中,连分数与加权Motzkin Path有关系。数学发现的顺序是没有如果的,只能说是迟早的事。

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没有思想哪里来的工具啊?数学工具要么建立在天马行空的想象之上,比如伽罗瓦的代数,要么建立在长久发展的思想积累之上,比如微积分的发展。工具可以说是这些思想或者诉求的一个系统化的体现。

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数学既是工具又是思想。
你非要把它拆开来问就如同在问一个人是人还是东西。

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