向量积只存在于三维向量中?

初:
若向量a叉乘向量b得c,由向量积的性质,c是一个垂直于a,b的向量,则
1、若a,b是二维的,则(一般)不可能存在3个二维向量互相垂直
2、若a,b是四维或更高维的,则又至少有两个向量与a,b互相垂直
对于1,c是不可定义的,对于2,c得定义似乎是歧义的(?)
Q0. 所以,向量积只存在于三维向量中?

其实想起这个事是想用向量积算面积的,于是有下面的问题:
Q1. 对于两个n维向量,是否存在一个关于坐标的运算,其结果是这两向量所夹平行四边形的面积?或者类似于向量积,其结果是个向量而其模是面积?

自然的,三维里面还有个混合积的东西,这东西在高数书里使用行列式定义的,三个三维向量算行列式没问题,三个四维向量就bug了...于是有
Q2.对于三个n维向量,是否存在一个关于坐标的运算,其结果是这三个向量所夹平行六面体的体积?

类似的,可以发散成下面这个很泛化的问题
Q3. n维空间中的m个向量可唯一确定一个m维超"立方"体,如何通过这些向量的坐标计算超"立方"体的体积?(显然不一定立方,但也不知道怎么称呼...)

就这样嗯...

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1个答案
18 0

假定你学过线性代数,不然没法讲……

向量积有很多名字,比如说叉积、外积。它的推广也有很多种。不过,要回答你这个问题,我们还是用外积这个名字吧。

为什么不用向量积这个名字呢?向量的模表示的是一个长度,两个向量的外积的模表示的却是一个面积。虽然我们习惯了,但细想起来这还是有点不自然的。而且,如果把两个向量的外积当作一个向量的话,这个向量是依赖于坐标系的。也就是说,它在坐标变换下不能保持不变。这实在不是什么好的性质。从物理学的角度来看,它们的量纲也是不同的。

也就是说,我们应该把它们区分开来看,把向量与向量的外积看成是不同的东西;至少看成是不同的空间中的向量。

那么,应该把向量的外积看作是什么东西呢?

考虑三维空间里的一组基,它们对应于3条坐标轴。两个向量的外积是一个“面积向量”,于是可以想象,如果把全体“面积向量”组成的线性空间记作的话,的基底可以取成对应于3个坐标平面(对,恰好也是3个)。把这组基记为。这里用了这个符号,这是外代数里表示外积的符号,叫做wedge,是楔子的意思,因此外积也叫楔积。

为了方便,我们还可以增加一些约定。由一个向量和它自己张成的“平行四边形”(可以看成是退化的平行四边形)面积为0,于是可以约定
。另一方面,在考虑物理等实际问题的时候定向是很重要的,从正面看过去的“面积”和从反面看过来的“面积”可以看成是相反的,所以可以约定:

这样一来,我们已经定义好了对于三个基底这个
该怎么算。于是,很容易把这个双线性地延拓成一个的运算。

比如说,对于
就等于








有没有发现这有结果看起来点熟悉?

如果把最后的
换成换成换成,这就是我们熟悉的“向量积”了。

但我们不换。

对于面积,我们有了。于是很自然地想到,对于体积,我们也应该有个。而且,它的一组基是。也就是说,是一个一维的向量空间。然后约定,对于,如果调换其中两项,得到的就是原来的乘以-1,比如说。这样,如果中有两项是一样的,比如说,那么调换这两项的次序,就有,于是它只能等于0。

这样,和前面类似,我们就可以定义三个向量的外积了。经过验算(具体过程我就不写了)就会发现:三个向量的外积就是我们熟悉的混合积,当然还要乘上一个

再看一遍前面的过程,就会发现“三”这个维数在这里并没有起到什么特别的作用,顶多是使得的维数和恰好一样。于是,我们可以把这些东西推广到任意一个有限维的向量空间。也就是说,对一个维的向量空间,取它的一组基。这样,对,就可以取为由张成的向量空间(这个空间是维的)。然后约定,对(这里不要求),如果调换其中两项,得到的东西等于原来的乘以-1。然后就可以像前面那样那样定义维向量的外积。然后,这个外积(在这个维空间中)的模就是你所问的那个“体积”了。特别地,在的时候,是个一维空间,维向量正好可以排成一个的方阵,这些向量外积正好相当于这个矩阵的行列式(具体的我也不算了)。

到目前为止已经回答了你的全部问题。

不过,中两个向量取了一下外积就到了里,中的东西再和中的东西取外积又到了里……这样总有点不方便。于是我们可以把它们统一一下。我们把实数域当作一维的向量空间,就记作,约定它和其他东西的外积就等于数乘。然后把自己记作。然后取所有这些直和,得到,记作。它也是个向量空间。除了向量空间的结构,这个东西上面还有一个外积运算。我们把这个东西叫做外代数。

前面都是先选了上的一组基,然后才定义出这么一堆东西。其实它们的定义也可以不依赖于基的选取,不过要先讲张量什么的,我这里就不介绍了。

外代数还有个叫“泛性质”的性质(这段看不懂就算了):对任一个结合代数(这里说的“结合代数”指的是有某种形式的“乘法”运算,而且这个运算满足结合律的向量空间,下面就把这个“乘法”记作)和任何一个线性映射,如果对中任一个元素都有,那么就有唯一的一个代数同态,使得,这里的嵌入,也就是把等同于中的那个



当然,向量积还有别的一些推广,不过我不是很了解,就不说了。可以参考维基百科的Cross Product词条。我这里只举一个跟你的问题关系不是很大的小例子:

考虑三阶反对称矩阵(也就是满足的矩阵)的全体。这种矩阵一定长成

的形式,因此是一个三维的线性空间。然后在上定义一种叫“李括号”的运算。算算看,这样会得到什么东西?

就说这么多。不说了。

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