【两点间线段距离最短】是欧氏几何的公理吗?如果不是,是怎么证明的?

欧几里得几何的传统描述是一个公理系统,通过有限的公理来证明所有的“真命题”。
欧几里得平面几何的五条公理(公设)是:

  1. 从一向另一可以引一条直线。
  2. 任意线段能无限延伸成一条直线。
  3. 给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个
  4. 所有直角相等
  5. 若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交。


请问:
【两点间线段距离最短】是欧氏几何的公理吗?
如果不是,是怎么证明的?

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2个答案
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欧氏几何可以采用很多套不同而又互相等价(或者差不多等价)的公理体系。当然可以把“两点间线段距离最短”作为公理。不过这个命题涉及到“曲线”这种并不初等的概念,因此一般不把它作为公理。
欧几里得的《几何原本》没有把这个当作公理。从现代的眼光看来《几何原本》尚有不少不严谨之处。现在通用的欧氏几何的希尔伯特公理体系也没有把这一条当作公理。
一般来说,“两点间线段距离最短”可以用变分法来证明。

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