O'Neill Colony:这类空间站里面的人看到的物体的运动是什么样子的?

(这原来是星际移民局小组的一个帖子,但是考虑到小组初成,看到的人比较少,所以就写成问答,希望更多感兴趣的人能看到。把下面的这部分问题解决的最好的那位可以自愿选择成为星际移民局小组的管理员。)



(图片来源:http://en.wikipedia.org/wiki/File:Spacecolony1.jpg

上个世纪 70 年代,物理学家 Gerard K. O'Neill 提出的一种空间站的模型。

这种空间站的核心原理非常简单。我们在地球上生活习惯了,失重状态对于我们的生活和健康有很多不利,所以如果要建造一个能够让人长期居住的空间站,需要模拟类似地球上的重力环境。最简单的一种方式,就是让空间站沿着某个轴旋转。

例如我们的空间站是一个圆柱体,

(图片来源:http://en.wikipedia.org/wiki/File:Spacecolony3edit.jpeg

我们让这个圆柱体沿着轴旋转,这样生活在内壁的人们就可以体验到从轴指向壁外的力,这样就可以模拟了重力了。

但是这样一个旋转的圆筒内壁的物理,例如力学,跟我们在地球上体验到的会有些差异。

下面是需要解决的两个问题:

1. 生活的内壁的人看到的小球的运动方程跟我们地面上看到的不同,即便是一个不受力的小球。
2. 可以通过选择合适的参数,桶内和地球表面物体的动力学上的差异可以忽略么?如果可以,要什么样的条件?

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12个答案
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ProtossProbe工程力学专业,果壳SpaceX小组组长

2013-11-14 20:37

以空间站内部为参考系,受到的虚拟重力也就是离心力为:

虚拟重力加速度为:

空间站内物体的受力与地面上的不同,主要是由于距离转轴中心的半径差造成。而在地面上,由于地球半径很大,并且引力与距离成二次方反比的关系,这种差异被忽略不计

现假设一物体处于距转轴为的“地面”(相当于空间站的半径),则当它的位置变化为时,重力加速度的改变为:


可以看到,由于中心距不同造成的加速度的改变量与整个空间站的半径大小无关,只与有关,想要减小这种差异,对空间站的改变是减小

但是,减小的同时,虚拟重力加速度也会减小,为了保持在合理范围内,空间站半径必须增大

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上面只讨论了静止物体的受力差异,由于空间站是一个旋转的动系,空间站内运动的物体还必须受到科氏力的作用

假设空间站顺时针转动,则在“地面”运动,速度大小为的物体将受到大小为的科氏加速度,如果物体运动方向与空间站转动方向相同,科氏加速度指向转轴,相当于增大;如果物体运动方向与空间站转动方向相反,科氏加速度指向地面,相当于减小。如果物体平行于转轴运动,则科氏加速度为零。

想要减小科氏加速度的作用,方法是降低运动速度,减小,尽量只沿着与转轴平行的方向运动(赛马么。。。)

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下面来尝试做一些定量运算寻找合适的参数使空间站内的力学情况和地面的大体相当。
先考虑中心距差异导致的加速度差:
假设距离差为1米,在地球上,1米的高度差产生的加速度差为:

,,算得:

要使
算出
空间站转动的周期大约是3590s,大约一个小时

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再考虑科氏加速度产生的差异,假设“地面”上的物体垂直于转轴运动(平行于转轴运动不产生科氏加速度),假设科氏加速度产生的加速度改变量还是
因为
假设空间站内物体运动的最快速度为(相当于允许汽车行驶的速度),则算出的角速度应该为:

也就是说,只有当空间站的转动角速度,并且物体运动的速度时,由于科氏加速度产生的重力加速度改变量才和地球上的一致
(注:这里并没有考虑地球上的科氏加速度产生的变化,因为地球上的科氏加速度并不指向地心,而空间站的科氏加速度指向转轴或地面)


综合对两种加速度差产生的原因分析,可知,要使空间站上低速运动的物体和地球上的运动情况相近,需要满足

周期大约是3.9年!!!我勒个去

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最后就该算算在如此之小的角速度情况下,空间站该设计多大了:


解得:
这显然是在扯淡。。。

所以个人认为空间站的设计应该是把整个圆筒的内壁隔成很多沿转轴方向的长条区域,以限制垂直于轴方向的运动,这样才能使空间站上和地面上的运动情况大体一致
在这种情况下,就暂时只考虑第一种原因(距离差)产生的加速度差

解得:
空间站的半径大约是3200公里,基本上是地球半径的一半。。。(这是在造死星吧。。。 )

最后得出结论:在人造空间站上还想过得和地球一样??除非再造个地球。。。

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章鱼喵.时见疏星理论物理专业,西夏文爱好者

2013-11-17 02:42

下面是这个问题的一个可能的答案,讨论了自由落体运动的区别。
(因为是写给大众的,所以里面很多啰嗦的话,对于物理专业的人,可以直接看如何解出来的:http://multiverse.lamost.org/blog/wp-content/uploads/2013/11/ONeilCylinder.pdf 答案不是我写的是Carlton M. Caves写的。我的版本的答案全是坐标变换。只要找到两个坐标系的坐标变换矩阵,所有的问题就解决了。)


下面是啰嗦的答案:
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我们在地球上生活,会体验到重力作用。虽然很多时候我们都想摆脱重力,自由的飞翔,但是重力对于我们的生活和健康有很重要的作用。例如我们走路,如果没有重力,轻轻一碰地面就飘起来了,走起路来可就得手脚并用了。或许这并不坏,可是如果我们想要冲一杯热茶,谁知道却怎么也没法把热水倒出来。更要命的事情是,在失重状态下,人的骨骼和肌肉的会有严重的问题。[^1]

所以,如果要建造大规模的民用空间站,需要先解决失重的问题。一个比较有趣的方法是 O'Neill 提出的通过让空间站旋转来模拟重力。


## O'Neill Cylinder

O'Neill 这种空间站的最简单的模型是一个旋转的圆桶,例如下图里面这个大型的桶状结构:


(图片来源:http://imageshack.us/photo/my-images/11/1109702023694.jpg/

当然,我们要研究物理,不需要这么花哨,只需要画一个圆筒就行了:


(图片来源 http://www.dvandom.com/coriolis/spacestation.html

只要让这个圆筒适当的旋转,生活在圆筒内壁的人就可以体验到模拟的重力。这是一个比较容易理解的现象,比如杂技团常常表演的水流星节目,也就是拿了一对盛有水的碗,用绳子连起来,然后旋转他们,如下图:


旋转时让碗口朝向内侧,这样水不会洒出来。原因大家也都清楚,是一种离心作用。


## Coriolis Effect

但是,站在空间站内壁的人们还会体验到另外一种作用,就是 Coriolis 作用。关于这种作用,可以看下面的这个视频:
点击访问视频

(iOS请点击视频链接:http://v.youku.com/v_show/id_XNjA0NjY5MzY=.html

这个视频说的是,如果我们站在一个转动的圆盘上面开炮,会发现似乎有一只神奇的手把炮弹推向了一边,而不是我们常识中的(在地面的投影)是一条直线。这只神奇的手就是科里奥利力。当然,如果我们站在地面上看,而不是圆盘上,炮弹自然还是一条直线。

当然 Coriolis effect 在地球表面(绝大多数地点)也是有的,只不过在日常起居生活中这种效应很小,所以我们下面的讨论自由落体运动的时候就忽略地表的 Coriolis effect 了。

## 自由落体运动

我们生活中最熟悉的运动之一是自由落体运动,例如:


(当然,我们通常说的自由落体是指是理想的情况,没有空气阻力。)

初速度为零,从距离地面高度为 h 的地方开始自由落体的物体的运动是由下面的公式描述的:

其中 g 是指的重力常数。

那么如果我们在 O'Neill Cylinder 这种空间站中还会有这种自由落体运动么?


## O'Neill Cylinder 中的“自由落体运动”

如果我们在空间站中建造一个比萨斜塔,高度为 h,然后我们从斜塔上面让一个小球自由的下落(从空间站参考系来看),那么小球的运动是什么样的呢?

简单的想想,落体运动应该是还有的,因为我们在斜塔顶部放手之后,从一个外部的观察者看来,小球接下来是在做匀速直线运动,这样总会撞到桶壁。只是这种运动还会是跟地面上的自由落体运动一样么?

经过简单的计算,在一个半径为 R 的旋转角速度为 的 O'Neill Cylinder 中,如果斜塔的高度 h< <R,并且小球落地的时间是远远小于圆筒转动一个周期的时间,那么我们可以得到从斜塔上面落体的运动方程(保留到):

这里的 z' 坐标半径方向的,也就是空间站内部人看来的竖直向上,x' 是指的沿着转动方向与 z' 轴垂直的轴的坐标。下面是一个空间站的截面图,里面绘制了坐标的约定:


如果仅仅保留到 阶,那么在竖直方向上,确实看起来是一个自由落体运动,只需要让空间站的参数满足 就可以跟地面一样了(g 是重力加速度)。但是,同时在(空间站内部看来的切平面)“水平”方向有个偏离(由上面提到的 Coriolis effect 引起的),但是这个偏离很小,如果空间站参数满足了竖直方向的自由落体运动跟地面一样,那么当物体“落地”后,这个偏离跟下落高度 h 的比值只有

在上面所说的参数下,只要我们的下落高度跟空间站半径比起来小得多,这个偏离就可以忽略,空间站里面的自由落体就跟地面的自由落体相差不多。

如果我们的下落高度 h 太大,那么物体就会偏离半径这条线比较大了。

如果我们建造一个半径 10km 的空间站,并且让空间站转动角速度大约为 0.03 rad/s,那么空间站的内壁上面就会有一个跟地球表面重力加速度一样的“模拟的重力加速度”。如果我们从 10m 的地方让一个物体自由落体,“水平”方向的偏离只有 0.3 米。在正常生活中,完全是一个可以接受的偏离。


## 其他运动

这篇文章只是分析了自由落体运动,这个分析起来非常简单,我们甚至可以轻松的写出不带近似的完整的运动方程。那么,其他的运动如何?几个有趣的事情是:

1. 在空间站内踢足球
2. 在空间站内制作单摆(或者使用摆钟)
3. 开车(高速和低速)

这些都是可以分析的。



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## 参考

[^1]: http://science1.nasa.gov/science-news/science-at-nasa/2001/ast02aug_1/

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很好玩儿啊!

设半径为$R$,角速度为$\omega$,采用壳上站着的人的笛卡尔坐标系,$Y$方向指向圆柱体的中心轴,$Z$方向沿其中心轴。由Lagrangian变分,如果没算错的话,得到:
$\ddot{X} = 2 \omega \dot{Y} + \omega^2 X$, $\ddot{Y} = -2 \omega \dot{X} - \omega^2 (R-Y)$,
假设一个身高远小于地球半径。比较Newtonian的运动方程:
$\ddot{X} = 0$, $\ddot{Y} = -g \approx \textrm{Constant}$,得到条件:
$\omega \ll 0$; $\dot{X} \ll \omega (R-Y) \approx \omega R$, $\omega^2 (R-Y) \approx \omega^2 R = g$,因此,$R \gg 0$, $|\dot{X}| \ll g / \omega$。

就是说,半径要大,转得(角速度)要慢,不要用力在地上踢足球。

嗯,我猜的。

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支持者: 张潇_Victoria

看刚大木的时候里头的空间站就是这样的环形的。。。

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支持者: 校长

简单地说在Interstellar里孩子们不太可能在桶状空间中里玩棒球,球的运动曲线不同会有很多诡异表现让这个运动难以捉摸。

最恶意的击球是擦中来球使其在接近转动轴的位置失去速度,在低重力下球要很久才会落会地面,而且十有八九不会在球场上(这算是本垒打么...)。

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试试看……对于小球来说,忽略空间站内空气流动
假设一开始空间站外壳上一机械臂抓住小球一起运动
放开后,小球不受外力,继续之前的运动,即从释放点开始以那一点当时的线速度,直线运动于是就向空间站外壳冲去。似乎就是这样?

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Greed_Mammon洋芋神教·Potamen!

2013-11-18 11:46

说起来,这种圆筒形的殖民卫星,从构造上讲应该是越靠近转轴的地方收到了离心作用越小,到了轴的附近就彻底失重了吧......所以这种殖民卫星里的建筑大概不能盖得太高?
话说机动战士高达的UC世界观里用的就是这种殖民卫星,结果要么被击毁,要么被释放毒气,要么就用来砸地球了......

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圆筒形的实在太大了,还是做成伞状吧,可以把伞盖半径做的比较大,伞盖边缘为生活区。当然,实际居住面积就小多了……

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所以你用力踢球,球直窜远处的房子玻璃,然后飞着飞着就打到你身旁的基友脸上~~~~

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Sulayman_Hu农学学士 从事农业相关工作

2013-11-15 17:33

看那个极乐空间,感觉那艘飞船貌似不会坠毁啊,用旋转造成的假引力,不会让飞船坠毁啊

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