如果引力和距离的一次方或者三次方成反比,开普勒定律的变体会是?

牛顿力学,引力和距离的二次方成反比,可以导出开普勒定律,也就是圆锥曲线轨道,推导在wiki上有:

http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%BC%80%E6%99%AE%E5%8B%92%E5%AE%9A%E5%BE%8B

想问如果引力和距离的一次方或者三次方成反比,能推导出什么样的轨道(及其性质)呢?这个应该是物理系的习题吧,数学功底不够,求大牛帮回答。

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3个答案
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bay618粒子物理博士

2013-12-24 10:21

@LePtC 邀, 正好手头有现成的工具, 可以做几个轨迹给大家看看

这是平方反比做出的效果, 是标准的椭圆形轨道.
双曲线的画出来都是一条线跑没影了, 这样的曲线就不画了

@MrMathematica 那个网页推导出,稳定的闭合轨道只发生于平方反比连心势或径向谐振子势
一次反比或者三次反比都无法形成闭合轨道的
我们看一下从运动方程能得到些什么, wiki 开普勒定律中

u是距离的倒数.
之前的分析对于各种力场形式都是一样的, 只是最后一项中, 平方反比是u^2, 一次反比是u, 三次反比是u^3

先看看三次反比的情况

A是一常数,

  • 当A=0 时候, 很容易看出它的解u = C*\theta, 是一个等差螺线
  • 当A = k^2 >0时候, 它的解


是一条等比螺线, 上面两条轨迹如图所示, 这样的结构一定是不稳定的, 要么撞在一起, 要么分道扬镳

  • 当A = -k^2 < 0时候,


这意味着轨道上一定有u=0的点, 表示一定会跑到无限远的地方

再看看一次反比的情况, 这里图挂了就不贴公式了.
求解这个方程超出了我的能力, 贴几个轨迹图吧, 都没有跑出去也没有撞上,
要是不去试着求解它们的方程的话, 看着还是很舒服的.

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MrMathematica计算机科学硕士, 计算机和数学双学士

2013-12-24 05:20
支持者: LePtC
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轨道貌似太复杂,不知道,让大神用计算机给你解答
但有一个定律是不变的:跟太阳的连线在相同的时间扫过相同的面积,说白了,就是角动量守恒

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