为什么灯在碗中的投影是心形线?



吃饭时候偶然间发现的,看起来很像心形线。是只是形状很像心形线呢?还是真的就是规则的曲线呢?其中的数学原理是啥呢?灯泡在碗的斜上方,球形灯泡

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43个答案
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用最简单的模型算一下吧……
光源为点光源,碗的侧面是圆台形状(这样好算……),求光源在碗侧面反射形成的像

进一步简化:碗抽象成无限高圆锥,反正底面不影响反射成像

以圆锥顶点为原点建立坐标系,z轴指向圆锥内部,光源在xOz面上,坐标

这样一来,极角为的那一小条圆锥面可以看做平面镜,法线,平面方程

光源上的镜像为,满足

这里是自变量,确定了光源位置,确定了碗口张角,上面那个式子展开来太血腥就不写了,总之把镜像点的图像画出来就长成这个样子

俯视图

就是这个样子啦……

这个不是心形线,心形线要有尖的,这个曲线处处可导

拓展阅读:
http://en.wikipedia.org/wiki/Caustic_%28mathematics%29
http://mathworld.wolfram.com/CircleCatacaustic.html
http://mathforum.org/mathimages/index.php/Cardioid

这个是心形线……


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既然有人关心那我就稍微解释下好了……

解决这个问题有几个办法
1. 算反射光的包络线,这个就是后面拓展阅读的方法,也是最正统的数学方法,也应该是最推荐的方法。但是算起来比较麻烦……
2. 就是我用的这种,算光源在反射面的镜像(所以我才用的圆锥面……这样镜像是一条曲线,别的面做完镜像就成曲面了),好处就是数学比较简单而且写进Mathematica也很短,不用什么手算的东西,问题就是圆台不够高的时候偏差比较大
3. 直接算底面上的亮度分布,这个比较麻烦,需要附加的参数让模型更复杂,而且给出的信息太多了,我们本来只想要一条曲线结果得到了一个二元函数……“无限高圆锥”其实是给这一步准备的,如果只算镜像点的话反射面只要在圆锥面上长成什么样子不是很重要

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本答案不再更新,任何与物理有关的细节讨论请前往日志http://www.guokr.com/blog/747036

呵呵。
占个位子。
等我考完试回来试试能不能用正常一点的模型和光强度分布把那个尾巴算出来。

(*这段作废,因为后来发现根本没必要说这些细节……大方向就不对- - →cesium14这个模型几个大问题:1原照片里的尖尖算不出来多半是因为圆锥形的假设。2想过没有“俯视图”的意义?这个z方向的距离会对解产生影响,因为那个离截面越远的像在截面上就越弥散。截面位置要确定,然后看在整个截面上的扩散程度。3每个像点的权重是不同的,因为每个平面镜微元相对于入射光的有效面积是不同的,进一步对在截面上的强度产生了影响。另外还有一些极为轻巧细腻的问题有待解答:比如lz照片里明显心形内部比外边亮,而下边柱面圆环反射的“准心形”明显是外部比内部亮。
我认为这几个问题出现的原因归根结底在于:cesium14这个模型和要解决的问题还差了一大节,就是说,截面上的光强度分布跟像点的分布在截面上的投影是两个不同的问题,实际上。从这一步到那一步还需要大量的计算。
另外他用的不是点光源,而是平行光。我也会用平行光近似的,点光源太复杂。*)
另外刚刚发现他算出来的根本不是像点。这东西是什么也不好说。
好吧最后发现他只是算了一个锥形顶点附近锥形环的反射情况……难怪结果只是一条线。
也难怪……原来这个模型彻底是错的。得到了反射 的矢量方向,但是起点却完全对不上……误打误撞算出来了个貌似合理的结果……
哈哈,看似轻巧的方法得到了一个看似合理的结果,跟实际情况却完全对不上号。

另外cesium14答案底下那个Circle Catacaustic提供了一点启示:这是个相对简单的二维情况,那个弧线出现在“反射光线在角度微小变化后仍然汇聚”的位置点,这是要计算微分的,类似“彩虹圆锥角”的问题,不可能一个镜像就解决了。即使这样在问题上升到3维之后还是会变得更加复杂,取强度极值的位置需要大量运算,尤其是要算弥散在一个截面的极值(如果是三维空间的汇聚极值线可能反而要好算一点),相对而言算截面上的光强的处处分布也许会稍微简单一点。更重要的是这样给出的结果更有意义,比如可以确定明亮区域和黑暗区域的范围,类似于彩虹的亚历山大带的区域,而不是给出一条线就完,可以更好地和lz照片进行对比。

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支持者: 色彩空间

我一直觉得那东西像屁股。。。

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以前人家说,人们对脸很敏感,可以在任何地方找到类似脸的形象。
现在我们似乎对心型也挺敏感的嘛

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绛洞婲迋土豪大学化学学士

2013-12-24 19:38

我是来膜拜一楼的

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崇拜一楼大神,那是在我数学最好的年月也无法仰望的高度!

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豆豆宝包爱生活不爱算账的会计学硕士

2013-12-25 13:08
支持者: 挤毛豆

一楼好神!估计是单身!

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weejimmyWelding Engineer

2014-08-04 09:30

帅呆了,膜拜一楼,发现看不懂了,,,,

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擦,因为灯丝是弯的。照到碗里就变这样了。

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一樓。。。呵呵。。。。學霸。。。。


r=a-sin(O)

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难道就我一个人是看2楼的么……

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夜翎经济学硕士帝都典型金融民工

2013-12-24 17:51

一楼碉堡了

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关注一下,俺娃子将来的数学可以借你之力啊,呵呵...

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裤叔Kuso材料学工程师

2013-12-24 16:54

一楼回答得好轻描淡写阿~~~膜拜……

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