用极坐标标注出5000和50000以内的素数。为森么出现这样的图形?

用极坐标标注出5000和50000以内的素数。若p是素数,则{(x,y)丨x=p*cos(p), y=p*sin(p)}被标注。


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3个答案
5 0

左面那个没想出来,右面那个说起来话比较长,跟“同余”有关系,要答起来比较麻烦,先贴几张图,看看lz能不能自己想出来

先不写质数,把所有整数都这么画在极坐标系下,而且把等速外扩那项也去掉,直接这样映射。
如果一圈的长度不是而是6的话,画出来应该是这个样子,里面每一个点代表除以6的一种余数(6个剩余类)

是7的话


如果一圈是60的话,画出来应该是这个样子


把其中的质数去掉
6(代表余0,2,3,4的点因为能被2,2,3,2整除而消失了,注意到后面的 2,2,3,2都是6的约数)

7(7没有约数,所以没变)

60(满身窟窿,对应2,3,5三个数的整数倍)

如果一圈是600的话,虽然刚才的洞还存在,但是太密集看不出来了

挖掉合数

现在考虑一圈的长度是有理数的情况,只有时两个点才会被画在一起,其实也就是的意思(可以想一下为什么)
为了说明问题,把等速向外的那项加上,从现在起
一圈是10/7

11/7

12/7,到这里看着都挺正常的,就是原来的图随着数字增大向外展的项,而且也符合我们的预测,一圈12/7跟一圈12的图没什么区别


下面,我们换回通常意义下的极坐标,一圈

和圆周率的疏率44/7

很像吧
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那为什么不能用密率355/113呢?
当分子特别大的时候(参照上面600那张图)
100/7,这时候由于极角差距导致的点间隔和由于r的差距导致的点的间隔差不多大(对照12/7那张图,轴向点排列很密集,而只有很少的几个极角上有点)

换成120/7呢?我们看到了明显的螺旋形状,这是因为120/7约等于17,所以这个图像分成了17支而不是120支,但是每支相邻点会有一个极角的差距(这个差距和120/7-17有关系)

把点减少一些



这里有一些细节我没有解释清楚(比如去掉合数的作用,比如分割线后面的话有什么意义,比如为什么最后一张图突每一条臂都是等速螺线,比如为什么我画的图跟原来的图一点也不像),欢迎补充
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我以为我想明白了但是其实我也没完全想明白这个事情……所以我还是老老实实帮lz画图好了……

附赠高清无码大图(前20万个质数)

可以看到,这个结构是相当精细的,而且可以看到原图中每条线都是几根细线组成的。估计上面得有几百条线了,这个可能需要用到圆周率的密率(这就要求必须把合数剔除,否则没法解释图中的空白线)。仔细看,其实每根线都是弯的,所以我觉得我上面的解释应该还没什么问题,只不过是要求一个非常精确的圆周率的有理近似。

当然也可能是我想错了= =

4 0

我是来尝试真正解决这个问题的。

那几个螺旋形的东西跟你选的尺度有关。
首先,所有的点都在r=p,θ=p上。
有mathematica的可以玩玩。
ListPolarPlot[Table[{Prime[n], Prime[n]}, {n, 8000}]
这个图,你放大或缩小就能同时看到两种状态。

那些空隙的出现确实是跟某些整数之比的与2π之间的接近有关系。细节待算。

以废→继续:
目前已经发现内部螺线空隙大致跟r=2500(θ±π/2)有关。目测可能要用到复数来计算,因为有个莫名其妙的π/2。

再继续:
其实n很大的时候里边的螺线应该也还在的,只是被图片一压缩就看不见了。外边的细线其实也是螺旋的。如果你的电脑足够NB跑到
ListPolarPlot[Table[{Prime[n], Prime[n]}, {n, 1000000}]
的话,是可以看出来的

其中又出现了两条看起来跟刚才那个内部细螺线差不多的比较粗的螺线。实际上它们的本质起源应该是一样的,只是级别不同。

↓下边跑偏了,跳过吧……
继续,
我得到的最接近的结果大概是这样
ListPolarPlot[{{Table[{Prime[n], Prime[n]}, {n,
4000}]}, {Table[{0.01 j, 2480 (0.01 j + 0.5 Pi)}, {j,
1500}]}, {Table[{0.01 k, 2480 (0.01 k - 0.5 Pi)}, {k, 1900}]}}]

至于2480附近某个数有什么奇特的性质,待计算。

另外考虑到附近的螺线,在两个空白螺线之间有10条,可以知道每一步间距大概是2480*2Pi/21=742
ListPolarPlot[{{Table[{Prime[n], Prime[n]}, {n,
4000}]}, {Table[{0.01 j, 2480 (0.01 j + 0.5 Pi) - 742}, {j,
1500}]}, {Table[{0.01 k, 2480 (0.01 k - 0.5 Pi)}, {k, 1900}]}}]
可以看到螺线的吻合情况。给742加个倍数,可以切换到其他螺线。
这个数和那两组10重螺线是怎么来的待计算。
↑上变跑偏了,下边继续


从现象逆推本质需要大量时间。要挨个数点,大概前200个素数需要对照一下,确定被挖的合数后就能基本有定论了。等回来再继续搞。

唉忍不住又看了下。几个点跟11的倍数有很大关系。这两条线应该就是11这个数通过某种方式生成的。
缺失的两条线:
ListPolarPlot[{Table[{Prime[n], Prime[n]}, {n, 200}],
Table[{22 i + 11, 22 i + 11}, {i, 100}]}, PlotStyle -> {Red, Blue}]

(实际上两个螺旋应该分开写成44i+11和44i+33会比较清楚点)


好吧这是因为44/7跟2π的近似。44-14π≈0.01770284974所以每加44只转了一个很小的角度。而44的倍数由于出现在偶数层内,其他的偶数层早已经被挖掉了,所以看不到;但是11的奇数倍会留下这么一条轨迹。(这句话的意思是,所有偶数都已经因为是合数而被挖掉了,44的倍数没什么特殊,也一样是在“偶数空行”里,所以不显眼。但是44的倍数+11或+33也一定是合数而被挖掉,如果是加其他的奇数那么是有可能是质数的所以会留下很多点,于是这两条线就成了明显的“奇数空行”)

于是下一步就是,更大的那个螺旋。
它具有71次对称性。
由此可知,它来自710/113。
710=71*2*5,经检测所有的螺线来自710i+10m+5
所以应该是ListPolarPlot[{Table[{Prime[n], Prime[n]}, {n, 15000}], Table[{710 i + 15, 710 i + 15}, {i, 250}]}, PlotStyle -> {Red, Blue}]
5可以改成15,25,35,……695。(5*(2m+1), m=0,1,2...70)


从维基上可以查到π还有一个近似是333/106,2π应该会有个666/106的转法啊。但我们为什么没有看到呢?应该会有个37……唔也许是3,也许是9重对称啊。

唔,这个线路太糟糕了,为什么它旁边密密麻麻有很多质数点呢?为什么不是像44那样,周围一圈空荡荡的呢?
从44和710的例子可以看出来,后边加的数要满足两条:1和前边数字有共同因子,2没有已经被叉掉的因子(也就是2)。
到710那里,710的质因子有2,5,71。最小的奇质因子是5,要求加的是奇数,所以只能是每次累加5(2m+1),得到71次对称性。
实际上如果你仔细看上边那个图的话(71次对称性的),还可以看到多出来一个5次对称性的。其中一条和71次对称重合了,有两条是加宽了,还有两条是在中间的。
它们是71(2m+1)。 (m=0,1,2,3,4 ,m=2的时候和5*71重合,m=0或4 跟5的倍数差1(相邻),m=1或3 跟5的倍数差2(夹在中间),这就跟上边那个黑乎乎的70多条螺旋线的图对应起来了。)


666呢?666的质因子有2,3(2重),37。按照规则应该是每次累加3(2m+1)……那样的话是111次对称性。所以想必是看不出来的。而且太弯了,完全被710/113遮掩住了。
所以其要求要多加一组:比例很接近2π,所以不会因为太弯曲看不出来;对称重数很小,所以肉眼可以在图上分辨出来。
那9(2m+1)的37重也不行么?111(2m+1)的3重呢?实际上因为它们的宽度都是一样的,所以都被最高的对称重数掩盖了而难以分辨,就好像71次对称差不多掩盖了5次对称一样。(假如666/106是非常接近2π的话,你应该会看到111条空的近似斜线密密麻麻排列在圆盘上-类似71条螺旋线的那种效果。可惜差得有点远,太弯了。)

然后下一个接近的有理数比是多少呢?
维基上给的52163、103993都是质数,所以……乘2之后类比44的情况,44+11*(2m+1),那这两位的选择就是2p+p了(p代表这两个数之一),没法再乘2m+1了。所以……是只有一条螺旋线。
再下一个,245850922。这个数字等于2×29×1009×4201,肯定不能用,245850922*2+29*(2m+1)有1009×4201那么高的对称性,绝对看不出来。

至此此问题应该已经解决,
总结:第一种螺旋线来自44/7,有二次对称性,第二种来自710/113,有71次对称性和5次对称性。用上述方法可以预言更大范围n下由于某确定的有理数近似所能找到的螺线位置和对称性,并能从对称性反推出是由哪个有理数分子生成的。■

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方弦科学松鼠会成员,信息学硕士生

2013-12-31 04:52

参见wheel factorization:
http://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_factorization
http://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_factorization
其实就是同余的问题,弄一个逼近pi的分数而分母又比较多常见因子的那就出来了。

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