有大量黑白弹珠比例黑3:白1,取1000个装在袋中.再从袋中随机抽出100个观测发现各占一半,袋中小球的概率是多少?

有大量黑白弹珠比例黑3:白1, 随机取1000个.黑球平均个数为750个但在0...1000都有可能(比如取的时候同种颜色的球可能会聚在一起吧). 如此时对袋中黑球的比率进行估计, 75% 一定是最合理的值
现在我们有机会从袋中取一些小球出来看一下, 相当于对未知系统进行了测试, 我们可以从测试结果修正原始的概率.
比如取出1,2个时候, 概率75%不会有多大改变. 而当取出998,999个时候, 全是黑球, 则剩下的是黑球的概率也几乎是100%.
如果一般的, 取出N=100个时候, 黑球比率p=50%, 再问剩下的球中的概率是多少 ?
当没有测量结果时候, 估计在概率就是75%原始概率, 随着不断测量, 概率会进行修正,这样时候初始概率和测量结果都会影响到对系统概率的估计,是如何影响的呢
@猪了个去

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2个答案
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支持者: bay618

考虑如下一个问题:

某台机器以的概率生成白球,以的概率生成黑球;已知机器生成了1000个球。

用随机变量记这1000个球中黑球个个数,则

现在进行取球操作,假设一共取了个球,,用随机变量记取出的球中黑球的个数。

现在考察以下随机变量:,事实上,我们可以考察以下条件概率:,然后我们考虑,那么就是已知,对原来1000个球中有多少个黑球的“最大概率估计”(这个思想跟连续时候的极大似然估计可以类比……)

明天再来继续写这个题目吧。

---------------------我是分割线---------------------

考虑如下子问题:
1000个球里面有个黑球,个白球,现在计划从中取出个球,用代表其中黑球的个数。

那么

现在我们来计算,由条件概率:

然后进行计算,是二项分布,

于是都可以计算了。

---------------------我是分割线---------------------

计算好随机变量的密度函数后,我们可以做出统计推断。

关于如何估计原来袋中的黑球个数,不同的思想可以得到不一样的结果:

(1)用估计,也就是找到一个,使得条件概率最大,换言之,我们有信心说我们对黑球的估计是最大可能的。

(2)用期望估计。

@bay618

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happysolar生物统计学博士

2014-04-01 00:19
比如取出1,2个时候, 概率75%不会有多大改变. 而当取出998,999个时候, 全是黑球, 则剩下的是黑球的概率也几乎是100%.
如果一般的, 取出N=100个时候, 黑球比率p=50%, 再问剩下的球中的概率是多少 ?

这句话的描述是不对的。无论取出多少球,也无论取出的球中黑球的比例多大,都不影响剩下的球中的黑球概率。这是因为你无法确认你取出的球的分布是由第一次取球还是第二次取球的随机偏差造成的。严格的说,第二次取出的N个球中的黑球个数与剩下的1000-N个球中的黑球个数是独立的。假如对1000个球进行编号,第二次取球永远取1~100号,这样取出的黑球分布应该与随机取出的分布一样,这100个球与剩下的900个球实际上是独立无关的。因此剩下的球中的黑球概率永远是3/4。

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