所有自然数的和是-(1/12)?!这是真的吗?

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这个证明到底有没有问题?谁能详细说一下s1……
看了一种说法说是s1=1-1+1-1+……=1-(1-1+1-……)=1-s1,故s1=1/2
视频地址http://www.bilibili.tv/video/av908590/


视频中说的之前关于s1的证明的视频也找到了,拿出来分享一下http://www.bilibili.tv/video/av909807/,但是没字幕……

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18个答案
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谢邀。(咦?我在说什么?)


先来总结几句:

视频中的结论倒不能说是错的,但只在特殊的语境下才能成立,比如说物理学上的重整化、正规化什么的(我没学过物理,这些是看学物理的网友说的,具体是什么意思我完全不懂)。在数学的一些领域里,比如说数论啊模形式啊什么的,这些东西也是有意义的,但现在的数学家都不用这种不规范的写法。无论如何,它的意思不是什么“所有自然数的和是-(1/12)”

至于证明过程……那根本就是在乱搞。我不知道是不是物理学家都这样乱搞,如果是的话我就再也不相信物理了。不过从知乎的某个回答来看,物理学家得到这个结论的方法还是比较严谨的,而不是视频中那样乱搞。

我必须警告你们:除非你非常清楚你说的是什么意思,并且确保能把你的证明过程转化成现代的严谨的语言,否则不要乱搞。不然可能会变成这样:

顺便说一下,这个蒋春暄还自称率先证明了费马大定理。南方周末还发过一篇《令人深思的“蒋春暄现象”》来吹捧这个民科。


然后开始讲故事:

在微积分严谨化之前,数学家也喜欢乱搞。当然,因为还多概念还不明确,他们也只能乱搞。大名鼎鼎的莱昂哈德·欧拉就是这么一位擅长乱搞的深井冰。他乱搞出了很多有趣的结果。有些结果在今天看来还是十分准确的,比如说:

另一些结果在今天看来则比较疯狂,但可以用现代的语言做出严谨的解释,比如说:

左边是对全体素数求和。
现在我们知道,这其实意味着:

左边是对全体小于的素数求和。也就是说,全体小于的素数的倒数和,作为一个的函数,在时是和等价的无穷大。
再比如说看起来更疯狂的:

没错,这个等式就是欧拉在1749年得到的。他同时还得到了下面这些同样疯狂的等式:


我们先来看看欧拉是怎么乱搞出这个-1/12的。我找到一篇介绍欧拉当年的方法的论文,作者是John C. Baez。
欧拉也是乱搞,但没有视频中那么乱。
他先是用了一些生成函数之类的组合数学的手段,得到了相当于这么一个幂级数展开:

这个式子很寻常,并不一定要用到生成函数。学过微积分的同学也可以自己推一下,顺便算算这个级数的收敛半径什么的。
然后就开始有脏东西混进来了:
欧拉把代进了这个式子,得到了:

这就是视频中的那个了。
不对……-1不在它的收敛半径之内,不能这样算……
但那时还在18世纪,人们还缺乏收敛性的概念。到了19世纪初,高斯的人才开始考虑级数的收敛性,然后柯西、阿贝尔等人才开始对级数的收敛性展开深入的研究。还处在乱搞时代的欧拉当然不会去考虑这些问题。
如果把无穷级数求和的定义拓展一下,某些发散级数还是能求出“和”来的。比如说这里求出来的-1/4其实是阿贝尔和。当然,当时欧拉也没有阿贝尔和的概念。
然后欧拉的乱搞方式就和视频里一样了。

所以:

所以说欧拉就是个深井冰……
当然欧拉自己也未必知道这个式子是什么意思。


发散级数是魔鬼的发明,把不管什么样的证明都建立在发散级数基础上是一种耻辱。
——尼尔斯·阿贝尔,1826年


后来,数学家意识到乱搞会出问题,渐渐地就不喜欢乱搞了。经过柯西、维尔斯特拉斯、黎曼等人的努力,微积分终于建立在一个相对严谨的基础上(真正严谨还要等到后来康托尔、戴德金等人建立严谨实数理论)。同时,一门叫“复分析”的学科也逐渐成熟起来。为复分析做出奠基性的贡献的还是柯西、维尔斯特拉斯、黎曼这些人。
这时,黎曼重新考虑了欧拉考虑过的那些级数。他把它们写成一个函数:

这就是大名鼎鼎的黎曼ζ函数
但这个无穷级数在时才是收敛的……
黎曼比欧拉更进一步,考虑了为复数的情形。这样一来,ζ就成了一个复变函数。黎曼证明了它在时是收敛的,而且是全纯的。
那时已经有了一种叫“解析延拓”的神奇的工具。可以证明(这里我就不证了),这个ζ函数可以唯一地延拓成整个复平面上的亚纯函数,是它的唯一一个极点。延拓之后还是叫做ζ函数,不过在时就不能用原来那个级数来定义了。
在此基础上,黎曼研究了ζ函数的性质,证明了ζ函数的函数方程,用它得到了一些关于素数的结论,计算了它的几个非平凡零点,提出了黎曼猜想……
于是,欧拉这个疯狂的等式

用现代的、严谨的语言来说,就应该说成:



这个结论可以用ζ函数的函数方程轻松地得到。但我还是想用一下欧拉的方法……确切地说,是把欧拉的乱搞转换成严谨的数学语言。
我们已经给这样的级数定义了一个ζ函数。现在我们给这样的级数也定义一个函数,叫做狄利克雷η函数

它收敛的范围比ζ函数要大一些,而且在时是绝对收敛的。知道绝对收敛之后,就可以比较随便地玩了。于是,在时,有:

η函数也可以解析延拓(这里我也不证了)。解析延拓之后,它变成了整个复平面上的全纯函数。
于是,上面这个等式左右两边都可以看作是整个复平面上的亚纯函数了。但它们在时是相等的,于是根据复分析里的某条定理,它们在整个复平面上都相等。
于是,只要求出,就能得出的值了。
这就是欧拉的乱搞的最后一部分。
为了求出,我们还需要再定义一个函数,叫做多重对数函数

这其实是关于两个变量的二元函数。固定一个,它在中是收敛的,不收敛时的定义还是靠解析延拓。
的时候,它就是前面那个:

用跟前面差不多的讨论,解析延拓之后依然有

另一方面,按定义,在时,我们还有:

后面的把戏就有点复杂了……也许这里有更好地方法,只是我没想到,毕竟我已经有一段时间不接触分析了……
取一组。这样,每个都可以由级数定义,是关于的全纯函数。而且,可以证明(啊这个我也不证了),这一列是收敛于一个全纯函数的。当然,对固定的只能收敛于,因此这个全纯函数只能是。于是对所有的都有
到这里,我们终于可以得到结论:

然后就可以得到最终的结论:

于是,把欧拉的乱搞用现代的严谨的语言说清楚了还真不容易……而且我其实还没有真的说清楚了,中间有好几个重要的步骤是跳过去的。
完整的证明还是看那个常见的用Γ函数和伯努利数的证明吧,比如说,加藤和也、黑川信重、斋藤毅《数论1:Fermat的梦想和类域论》的第三章。
ζ函数在其它负整数处的值也可以类似地得到。


至于视频里那个

严谨的说法应该是:

当然,我们还可以用别的办法来把它说严谨了,比如说别的回答里提到的切萨罗和。但切不可把它理解为通常的求和。而且,切萨罗和的求法也不是视频里那样乱搞。


关于这个ζ函数还有很多有意思的东西可以说。这里不说了。大家可以看卢昌海的《Riemann 猜想漫谈》。
另外还有一个关于拉马努詹的故事。这里我也不说了。(拉马努詹好像非常、非常喜欢欧拉-麦克劳林公式。)


欧拉乱搞确实搞出了不少有价值的东西,但欧拉的时代早已过去了。而且不是怎样乱搞都能碰巧得到有意义的结论。更重要的是,你无法判断怎样乱搞才能搞出有意义的结论。万一又搞出一个蒋春暄……


传播数学还是要严谨。

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谷永浩小可爱微米纳米 介孔大孔 三元一斤 最后三天

2014-01-13 16:28

这个不是普通的“代数和”
这是“切萨罗和”……请看维基:http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%87%E8%90%A8%E7%BD%97%E6%B1%82%E5%92%8C
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%87%E8%90%A8%E7%BD%97%E6%B1%82%E5%92%8C
定义不一样…

这个级数绝不是闹着玩的,弦论里的确用得到:
“在波色弦理论中,我们想算出一个弦的可能的能量级,特别是最低能量级。非正式地说,每一个弦的谐波可以视为 一组 无关量子谐振子,这里 是时空的维数。如果基本振子频率是 则一个振子对 级谐波的贡献是 。所以利用发散级数我们发现在所有谐波上求和是 。”
http://zh.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%80%A6

当然,在高数的体系里是不能这么乱玩的。
条件收敛的级数乱加的结果是(可以证明)等于任意数的…
(谢谢@Thing_in_itself )

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非乌龟代数拓扑硕士,C#程序员

2014-01-13 22:11

我想说,从微积分的角度看,这个是显然不靠谱的。而视频中的方法,完完全全是微积分中的错误操作。如果涉及弦理论、重整化等计算,那整个过程都不应该在微积分的意义下来做。

大家已经提到级数收敛性、级数求和顺序、切萨罗和等问题了。大致是:

  • 翻翻任何一本微积分教材,对于发散级数明确表明不存在级数和;对于一般的级数,什么级数之间相加(甚至错位相加) 等等,简直是胡扯。
  • 还有人拿切萨罗和来作辩解,格兰迪级数的切萨罗和的确也是1/2,但切萨罗和是切萨罗和,收敛级数和是收敛级数和,两个是根本不同的概念,视频中的计算也不是求切萨罗和的正确方法。


另外关于黎曼zeta函数以及弦理论的问题,在这个回答http://www.zhihu.com/question/22506418/answer/21590050?utm_source=weibo&utm_medium=weibo_share&utm_content=share_answer&utm_campaign=share_button里被作为论据,来说明自然数之和等于-1/12。我想这两个论据也是有问题的:

  • 黎曼zeta函数ζ(s)作为一个复函数,首先,其在实部大于1时的确由收敛级数定义;然后这个定义于实部大于1部分的函数的确可以解析延拓出去;之后也的确有的结论……但是!其级数定义可没说随着延拓出去啊!-1/12归根结底只是黎曼zeta函数的函数值,并不是自然数级数的值。
  • 弦理论,我查阅了A.Zee的《Quantum Field Theory in a Nutshell》的内容,其原文摘录如下:
  • 我对弦理论不了解,但只从他提到的这本书来看,作者也在强调所谓的自然数之和,并不是微积分这种数学意义上的,而是“physical sense”。我对这种“physical sense”不了解,但起码我知道,目前流出的从微积分角度来证明“mathematical sense”的视频,不靠谱。
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positron理论物理、天文爱好者

2014-01-13 14:20

说实话,不懂这个。或者说,至少从我所学习过的数学,那个证明是错的。

视频中的证明基于了两点:一是S1=0.5的结论;而是无穷项的相加。只要认可这两点,结论没有错。

在高等数学(实数理论)中,,其结果取决于 n 是偶数还是奇数。而 S 是一个发散的无穷级数。这些在高等数学中,都是确定的结论。

不过,数学本来就是一种逻辑体系,选取了不同的基础,得出不同的结论是正常的。视频中得出S1=0.5的结论,用了概率,我不知道这算数学的哪一个分支。

12 4

关于

的初等"证明":



那么

所以

得到

证毕。:)

最后说明一下,这个证明当然是不对的。因为级数发散,所以不能求和。

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这就是QFT中加入截断因子的方法,算是像重整化了。可以看Susskind的String theory课程。

沿z方向无穷动量系中(z方向无穷动量标度下xy平面中的能量与其静质量平方成正比),弦(Nanbu acion中构造的Bosonic string的toy model是一串谐振子构成close string)真空能的重整化,得到-1/24系数(多了½是因为谐振子基态能是½ћω),后面多余的高阶发散项吸收入z方向无穷动量项中,从而绕过UV发散问题。由于从QFT得到spin-2真空模能量是-1,为了理论自洽于是引入高维空间假设:从原来的2D平面变成24D,乘24个振动自由度得到-1解决了自洽问题。于是24维加上1个z方向维度再加上时间就是26维,早期的Bosonic string theory就基本上是这么来的。由于-1能量,于是问题就出现imaginary mass.此即为Tachyon(快子)。这是共形反常的表现。引入SUSY后消除Tachyon变成10+1维的superstring theory.
这实际上是zeta函数∑n^(-s)在复平面上解析延拓的结果。
这里的求和牵扯到拉玛努金求和以及Cesaro平均收敛,这与常见的柯西数列极限的定义并不相同,说到底就是对于“求和”这个运算的推广。或者看做黎曼ζ函数的解析延拓。

3 0

Uhuru天体物理,软件工程师

2014-01-13 18:37

对发散级数求和是一个严肃的数学课题,只不过通常大学的微积分课程不会讲到这个而已。

《古今数学思想》 第47章就是专门介绍发散级数及其应用的,题头有一句引自Heaviside如下:

这级数是发散的;因此我们有可能用它来做些事情。
Oliver Heaviside


想大致了解如何对发散级数求和可以看看维基上这个条目:

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%91%E6%95%A3%E7%BA%A7%E6%95%B0

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wishpolo电子工程师

2014-01-13 21:48
支持者: MKing2 沫过依梦

关键的错误是在进行x-1=-x的等式变换中错误的把n为偶数和奇数时所得的结果认为是相等的。

不过这个问题让我想起了惠勒延迟选择实验,这个思想实验建立在将光波当成是一个个单个光子被发射出去的情况,于是推导出观察者现在的行为可以决定过去发生的事,而这一结论是与传统实在观相违背的。就像视频中证明S1=0.5的错误结论一样。但是如果把光看成无限细分的光波能量,则实验中的双缝会产生光的干涉现象,实际的实验结果也是这样。

1 0
支持者: Ralph

发散的级数不存在和。如果无论如何也想求出一个和,那么可以对“求和”这个概念做一个推广。这推广有没有实际意义另说。

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那个 1-1+1-1+1....不收敛不能直接等于0.5吧...

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这两个视频都是煎蛋上的,第一条的证明的视频煎蛋上也有了。去看看吧,

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关于在高数中S1计算的看法:
数列的表示方法学过高中以上数学的应该知道为Sn
对于1-1+1-1+1....数列来说
1-Sn=S(n+1)
且S(n+1)≠Sn
用S代替数列,把数列的两项看做相同一项是错误的,正确的计算方法一楼已给出,级数发散不能求和
更高等的数学木有学过!不讨论

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咕~~(╯﹏╰)b 没有人注意到 S2数列证明过程中 移位的S2漏了尾项么? 尾项应该是有的吧

Ps:我是医学生,高数神马早就还给老师了

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Pica.pica万有青年养成计划入围选手

2014-01-18 18:09

这个证明的错误就在与它在逼近极限的时候是分开逼近的
简单举个例子,我们求当n趋近于正无穷的值,众所周知它就是著名的自然对数e
然而一种错误的求法是:
先看,n趋近无穷时,它趋近于1,然后再有

这种求法就错在了分开逼近极限,正确的求法,是同时逼近极限

0 4

冰火梦幻信息与计算科学学士,算法控,AI爱好者

2014-01-13 20:22

看来视频里用的那个级数求和不是高等数学/数学分析里面的级数求和……就像欧式几何和非欧几何一样,彼此不相容,但可以并存,只要在各自领域内自洽就行了。

视频里的“+”不是“加”,Σ不是“求和”,“=”不是“等于”,甚至“1,2,3……”都不是自然数。它们都是弦理论里的某个算符(我不懂弦理论,不过那本书应该是真货吧?)。这么想的话就能理解了。

楼上几位尝试用高数/数分证明视频计算有误的应该都是走错了方向。

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