为什么没有正五边形的晶体?

三角形、正方形、六边形都是常见的晶体形状,为什么没有正五边形的晶体?

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3个答案
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老猫分子生物学准博士,天文爱好者

2014-01-22 17:38

为什么没有正五边形的晶体? 因为根据晶体局限定理(crystallographic restriction theorem),普通晶体只能具有二次、三次、四次或六次旋转对称性。这条定理最初是根据人们的观测得到的,不过也可以用很多不同的方法加以证明。

最简单直观的证明方法是晶格法。对于晶体而言,任何一个晶格质点发生平移,后继者也发生相应的平移,这样会产生新的晶格,而不会使晶体的结构发生任何变化——符合这种情况的只有两种晶格,也就是下图中上面红蓝格子的两种情况。前面一种情况对应二次、三次与六次旋转对称性,后面那种情况对应于二次与四次旋转对称性:


为什么五次对称不存在呢?我们知道,晶格指的是晶体内存在的最小的面积单位。假设存在一个五元对称的“晶格”(上图右下),我们每次旋转1/5可以形成重复的晶格(外圈箭头)。但是如果我们换一个旋转方式呢?像内圈箭头一样旋转,我们也可以得到原来五个点的位置,但是这样的五角星“晶格”面积远小于前述的五边形“晶格”面积,与晶格面积一致而且是最小且不可分割的相矛盾。因此五元对称在自然界是不存在的。

等等,事事都有例外,如果这个时候我摸出一颗五角十二面体的天然黄铁矿晶体,你们会做什么感想呢?五角十二面体哦,五元对称哦~

咦不好意思不小心多摸了两颗,嗯嗯,重点是最左边那颗啦~

是不是很刺激?但这其实并不是在挑战晶体局限定理,因为黄铁矿的五角十二面体并非是真正的正五角十二面体,黄铁矿的晶棱并不需要一样长,实际上它的棱分为了两组,只要保持每组一样长就可以了:

这种五角十二面体有个特别的名字:Pyritohedron,直译过来就是黄铁矿多面体,不过大家还是习惯把它叫五角十二面体。只是每个面不再是正五边形,五次对称也就不复存在了。

不过在一种叫做“准晶”的固体形态中,就存在着理想的五元对称。例如下面的Ho-Mg-Zn准晶,他就可以形成具有五元对称的,完美的正五角十二面体:

不过“准晶”这种1984年发现的,2011年才获得诺奖的内容太过高深,我在这里就不展开讨论了(其实就是完全看不懂有木有)。其实大概就是说由两种或多种不同的形状铺满空间的时候,还是可以形成五元对称的pattern的。

图片来源:图1、图3、图4来自wikicommons;图2是自己的作品,本来有其他用途,这次临时征用一下。

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晶体要求有平移对称性,所以只能有1,2,3,4,6重轴,五重轴不行(好象是叫轴次定律什么的)

但是准晶体(quasicrystal)可以有五重轴

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准晶不止五元对称,还有很多种普通晶体不具有的对称,好像是数学家先发现这种规律的吧,后来有化学家把他引入到晶体学里,中科院里有院士在八九十年代也跟着做出来一些,但是准晶尚未有应用的地方,不太稳定,好像还有正七十二边形,六十等等很多的的,还是要数学算吧,太难了,不会算......

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