小圆与大圆内切及外切的情况下绕一圈的行进距离

有一次拿着一个硬币,想到一个问题:
假设一个铁环厚度不计,那么这个硬币绕着球的外面和里面走了环的一圈后,硬币本身转的圈是一样多还是外面转的圈比里面转的圈?

几何来说就是一个小圆在内切大圆和外切大圆绕大圆一圈后,小圆转的圈数比较。

直观来看肯定是外切的时候转的多,但是要说都是走的一圈大圆呢,不都是大圆的周长嘛?
到底是哪个对呢?为啥呢?

看果壳上有很多牛人用 mathematica 做出很厉害的动画演示,可是不会这软件,能模拟一下直观点演示就好了。

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5个答案
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傅里叶变黄油猫软件工程师,应用数学专业

2014-02-12 17:43
支持者: starsnow

在外面滚动比平面上滚动+1圈,在里面滚动比平面上-1圈,所以差两圈。想象滚的是一张纸,滚一段距离后再把纸卷成一个圈,和卷成圈后再滚是等价的。

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支持者: starsnow

差了两圈。
简单的思路(想象力required):
假设两枚硬币在绕着环转。环竖立着。起点在环顶端。
两枚硬币都是相对大环逆时针运动。所以里边的硬币是顺时针转动,外边的是逆时针。
假设转回来之后里边的硬币相对于自身中心转了m圈,外边的转了 n圈。
我们从头开始,硬币放到起点。
但是这次我们把环从起点剪开,分成了起点和终点,然后摊开来……
这次上边和下边滚过去总该转一样的圈数了吧。设为p。
那么 我们再把它弯回圆形接上去……可见硬币在左边起点顺时针走了半圈,在右边的话也是顺时针走了半圈,一共这一卷就多顺时针走了一圈。
那么里边的硬币在里边顺时针转动就可以少走一圈,外边的就得多走一圈,于是m+1=p=n-1,里外差了两圈。

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支持者: starsnow

假设铁环和硬币一样大,在里面不用转,在外面是两圈。

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支持者: starsnow

为啥你的直观会是外圈多呢?

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starsnow:就是感觉呗,而且拿硬币转的时候外圈转的更快。再细想想,根据小圆的圆心来看,外圈的小圆的圆心转的轨迹所成的圆比里面的小圆圆心轨迹多了一个小圆直径呐。


偷懒了,用小圆大圆来算一下就有了:
设大圆半径R,小圆半径r,则两个小圆圆心的轨迹差是:2 * Pi * (R + r) - 2 * Pi * (R - r) = 4 Pi r,就是小圆周长的两倍,不就是两圈了嘛。

不过这个是圆心的轨迹,和小圆转了多少圈有什么样的一个关系呢?

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