能否构造出一个函数,其定义域是整数集,值域是所有有理数,且在定义域内严格递增?

能否构造出一个函数,其定义域是整数集,值域是所有有理数,且在定义域内严格递增?
(问题的来源是一道高考题。我构造出了一个,但答案的说法是这样的函数不存在,所以想请教一下诸位。为了不影响思路,我暂且不写出我构造的函数。
高考题链接:2013年福建省高考数学第十题)http://www.docin.com/touch/detail.do?id=666967062

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4个答案
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假设这个函数存在,定义为f(x)。
设:

由定义知道a<b,且a,b都是有理数,那么显然也是有理数。

又因为值域是所有有理数,显然存在使得

因为f是严格单增,且显然,所以必然有:,于是不是整数,这与定义域冲突。

所以f(x)不存在。

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方弦科学松鼠会成员,信息学硕士生

2014-02-14 04:06

都是有序集,二者之间的单调递增的双射就是一个序同构。问题是这两个有序集是不同构的,因为一个是离散的一个是稠密的,这里,稠密的定义是任意两个元素都有无穷个元素在它们之间,而这显然对于序同构来说是一个不变量。

……哦,LZ是高中生?那就一楼的答案吧……

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bay618粒子物理博士

2014-02-13 14:21

窃以为题目有问题, 同构要求一一映射, 而题目中并没有指明这一点. 题目中D选项有问题不是同构 , 但中学生不知道还有一一映射的要求 可能看不出来.
@Obliviou_s @LePtChttp://www.guokr.com/n/LePtC/

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LePtC物理学博士生

2014-02-13 17:34

咦?整数和有理数的都是啊,应该可以构造一一映射的啊

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