那么电子自旋取向要如何改变呢?

看着看着固体物理我就想起电子自旋的事情了,在wikipedia上面有这么一段:

然而尔后在量子力学中,透过理论以及实验验证发现基本粒子可视为是不可分割的点粒子,是故物体自转无法直接套用到自旋角动量上来,因此仅能将自旋视为一种内在性质,为粒子与生俱来带有的一种角动量,并且其量值是量子化的,无法被改变(但自旋角动量的指向可以透过操作来改变)。

既然电子自旋可以改变取向而不能改变大小,那么电子自旋要如何改变呢?

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2个答案
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LePtC物理学博士生

2014-03-19 06:02

自旋是粒子的内禀属性,自旋角动量的大小(即的本征值)都是不会改变的,啊你要问为什么?因为实验就观察到它就应该取这个值...

首先学过化学的都知道,角动量为的话的简并度为,然后我们有施特恩-格拉赫实验,观察到电子的只有两种取值,那么就可以由推出s=1/2

会改变的是自旋角动量的第三分量(即的本征值),用经典的图像来看的话,第三分量的改变就是空间取向的改变啦~

和经典的图像不同的是,量子力学中只能取特殊的几个值,这叫做自旋角动量取向量子化

可见的大小是可以取很多值的,电子的的大小不能变只是个巧合...(见第一张图)
光子的s=1,按说可以有-1,0,+1,但由于光子又没有质量,所以纵波不存在,光子的不变也是个巧合...


这就是我随手写的一个简单回答哈,既然上首页了,我就再补充一下吧 ...

@donizyo 的问题:

改变自旋方向加电磁场就行了,外加电磁场的能量作为微扰加在原来的哈密顿量上,然后解薛定谔方程就可以得出自旋取向的概率幅随时间演化的情况。

@章鱼喵.时见疏星 的问题:

还是从施特恩-格拉赫实验开始的,银原子内电子的总轨道角动量为零,原子束分裂成两条这一实验事实迫使人们猜想,电子除了轨道角动量外还有内部转动自由度,即自旋(spin)。电子自旋的假设首先是由 Uhlenbeck 和 Goudsmit 于 1925年公开发表的,发表前后曾有过激烈的争论。因为经典的自旋角动量本质上还是轨道角动量(是这个物体的各个组成部分绕轴旋转的轨道角动量),而电子是没有结构的点粒子。

是的,自旋从一开始就是个猜想,但在无数的实验的验证下,今天自旋已经成为量子力学坚实的一部分。解决上面那个问题的办法就是,我们说电子就是携带着这么一个内禀(intrinsic)的角动量,的intrinsic 是相对于extrinsic 的来说的,和电子本身的空间转动没有任何关系,你不能把它分解成电子的组份的轨道角动量 。

。。。。。。

有些人觉得量子力学是从天上掉下来的,那都是因为他们没好好学科技史 →_→

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章鱼喵.时见疏星理论物理专业,西夏文爱好者

2014-03-20 16:23

``` 先看 @LePtC 的正确答案。

``` 我只是对这个问题感兴趣,但是对量子不是那么专业。

··· 我要说很多铺垫才到正题。我想反正要真的理解为什么电子自旋的投影只能是 ,也得理解自旋是怎么来的。

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关于电子自旋的问题我困惑了很久,其实到现在我还在困惑。

下面要说的,主要的思路列举在这里:

1. 经典里面角动量是什么意思:转动变换的生成元
2. 量子力学里面什么东西是更加基本:Hilbert space 和 对易关系(或者说张量的引入)【经典理论里面角动量各分量可以对易么?不行。量子力学里面描述对易的方式让我很难受。我们在经典中,选择一组足够奇葩的基矢,同样可以有不对易的量。所以单独的说对易关系,还不够。我们下面详细解释里面会提到为什么 Hilbert space 会是一个非常重要的因素。】
3. 为什么量子力学里面会出现量子化的现象:多余的 constraint
4. 量子力学里面的角动量是什么:转动变换的生成元
5. 量子力学里面的角动量本征值问题:发现了除了我们在经典里面有对应的转动变换生成元(轨道角动量),还有一个很奇特的生成元(自旋角动量)。
6. 这个新的角动量真的跟经典里面的轨道角动量不一样么:制备轨道动量恒定的自由电子来做实验,证明确实不是轨道角动量。
7. 那么这个东西是跟陀螺的自旋一样么:不一样,没法找到自洽的理论。
7.1 自旋的另一种理解:从波函数不再是标量解释。
8. 最后说服自己,嗯,这个东西是个很奇怪的,没有经典对应的量,intrinsic 的。
9. 然后明白电子自旋 z 方向投影就两个值,这是量子化的数学结构造成的。没法找到物理上的有直观意义的解释。
10. 如果不能说服自己这个是 intrinsic 的,那么也有一些理论尝试从他们认为的更基本的东西来解释自旋。
11. 嗯,就这样。我的困惑在于,我不能说服自己这就是一个没法解释的东西。第一遍学量子力学的时候,觉得这些东西都很自然啊,为什么各位前辈会那么困惑。但是,第二遍学的时候,我一开始以为我在浪费时间,但是我没有。我开始结合自己其他的知识来重新审视量子力学里面的各种问题,然后有些原来困惑的,就变得明了的,有些原来觉得自然的,变得困惑了。我想这是人生的不同阶段吧。


电子自旋如何改变?上面说了这么一大通,就是想说(在现在的成熟的量子理论里面)不能改变,因为这个是电子本身的属性(自旋 1/2)。能改变的,只能是 z 分量。

如果想要把自旋向上的电子,变成自旋向下的电子,按照传统可以使用非均匀磁场。如果是自旋向上的电子,那么电子经过这个仪器之后,是上面那一条路径。


(图片来源:http://web.utk.edu/~cnattras/Phys250Fall2012/modules/module%203/spin.htm

然后,我们再加一个横向的,得到的是两条路径都有,然后在横向的仪器的靠近 N 的那个路径上面再加一个竖着的仪器,又得到两条路径都有,然后两条路径中靠近 S 的那条出来的,就是自旋向下的电子了。



---------------- 正文开始 ----------------

## 自旋是怎么来的

要说电子自旋,要先从轨道角动量说起。


### 经典的角动量

牛顿力学里面的第一性原理是说,一个物体受到的力,等于它的动量随时间的变化率。还有一个更漂亮的说法,动量是平移对称性所对应的守恒量。什么意思呢?

平移对称性是说,如果我们移动整个我们要研究的体系一段距离,这个体系不变。不变这个词在经典里面很直观,就是什么东西都跟原来一样,像废话一样,但是这个词到了量子里面,就会变得很诡异。

既然体系不变,这在经典力学里面,对应的是动量不变。能量会变么?可能。比如我们有保守势能,而这些势能的零势能点本来就是可以随便选取的,所以移动了体系,等价于移动了零势能点,所以能量自然会变。

上面那个说法,更进一步,就是说,动量是平移变换的生成元。实际上这个说法跟上面那个说法是等价的。

沿用这个对称性的说法,角动量是转动变换的生成元,或者说,转动变换守恒对应的不变量是角动量。这个会在下面的量子部分解释。

为什么非要说对称性呢?因为对称性,是我们理解量子力学里面的角动量的关键,虽然还不够。


### 量子力学里面的轨道角动量

经典的角动量的定义是这样的:

即,位移叉乘动量。得到一个跟两者都垂直的量,正好符合预期。

那么,量子力学里面,我们也可以仿照这个定义来一个量子角动量,

当然这些都变成算符了。

但是,量子力学里面最根本的东西是什么?态矢的可归一化(Hilbert 空间)和非对易性。有些算符两两之间不对易。(经典里面也有,角动量各分量,原因是那不是真的矢量。)

这里要插一点。量子力学里面为什么很多东西会被量子化?因为对易关系?不单是。(请考虑 L_z 的量子化)。数学上说,量子力学里面的量子化,是因为我们的限制条件数目多余变量数目。(物理上为什么?)例如一维方势井粒子运动里面,我们多了一个波函数归一化,所以才使得束缚态能级的量子化。有的时候,Hermitian 也是一个限制条件,这会使得 L_z 量子化。有的时候对易关系就变成了限制条件。

所以我们要走一条更加基础的路线,那就是找出一个最最一般的关于角动量的对易关系。

怎么去找这个对易关系呢?还记得我们说,角动量是转动变换的生成元?没错,对称性就是我们要下手的地方。所以我们就去看数学上角动量是如何生成转动的。

/* 下面这部分是具体的思路,其实也不用看我写的,一般量子力学书上都有。我写这段是为了帮助一些记不清的人复习一下。*/
/********************
量子力学里面,能够描述一个物理态的,是 Hilbert 空间的态矢。基矢是一类完备(……)的态矢,可以用来展开态,或者投影态。例如,空间的基矢如下。


(为了省时间我用了不规范的 LaTeX,见谅。)

那么最直接的,转动体系,就等于转动这个态矢里面的坐标(其实这里有个前提,后面会提到)。所以一个转动作用上去,我们可以写出转动之后的态矢。

另一方面,对于无穷小变换,我们有具体的形式,

那么如何发现这个生成元 的具体形式呢?通过把这个变换作用在一个任意态上。然后我们已经知道了转动在位置基矢下面的作用。所以一个自然的想法是把这个这些投影到空间基矢上,然后我们得到一个等式。

因为我们考虑的是无穷小生成元,所以最后对等式两边 Taylor 展开,对照各项,就可以发现生成元的形式了。很自然,这个就是我们通过上面定义的角动量的 z 分量。

注意,这里有个陷阱,我们用了我们的经典的 intuition,即转动对于坐标是如何变换的。
*******************/
/* 具体思路完。 */

等等,我们为什么要根据经典的 intuition 来考虑角动量?完全不应该嘛,量子力学里面,我们应该考虑更加基本的对易关系。所以我们就考虑对易关系吧。

利用上面得出的角动量的关系式,我们得到一个对易关系,


(这里面的符号我就不多解释了,如果不知道这里面的符号的意思,那可能我说的其他的也太过了。)

所以我们现在重新回到原点,一切都是从这个出发。(其实这不是原点,满足这个对易关系的,是转动变换的生成元。对称性才是我们出发的原点。)

所以,角动量,就是满足上面这个对易关系的算符。


### 角动量的本征值问题

然后我们考虑角动量的本征值问题。这一步很关键。我们发现仅仅通过这个对易关系得出的本征值的解,是这样的。


奇怪的就是,我们发现这里面 j 和 m可以取到半整数?!

等等等等,我们如果通过下面这个比较直观的定义来算本征值问题,

那么得到的结果,是没有半整数的。

那我们算错了?不是的。原因就是我们这次的计算仅仅用到了这个对易关系。言外之意,就是说,在量子力学里面,除了我们这个在经典里面有对应的角动量,还有一个角动量,也是转动变换的生成元。

这个东西是什么呢?我们就说是自旋角动量。是一种内禀的,没有经典对应的角动量。

所以我这么说,你会满意么?别问为什么,别为是什么,这东西就是内禀的,自然界的本质的?

这个问题不但应该问,还应该仔细的思考。即便真的觉得这是个内禀的量,也需要说服自己,而不是听书本上说这是内禀的就觉得是内禀的。

然后为什么(电子)自旋改变取向不能改变(投影)大小?因为对电子自旋而言,上面的 j=1/2,所以就只能有两种情况了。更多的还是看 LePtC 的答案。

上面说这么多,是为了说清楚,这个不是一个有着经典对应的量。


## 自旋角动量的另一种引入方法

另一种方法是去理解转动变换中的标量,矢量,张量的变换形式。

标量在转动下,就仅仅变换位置相关的参量。
矢量(以及 axial vector)在转动下,除了跟位置相关的参量的变换,还有这个量本身的变换。

在考虑自旋之前,我们处理的波函数都是标量,这样可能会产生一种错觉,就是转动仅仅会变换波函数的位置参量(等价的说变换位置基矢)。但是,如果我们的波函数是矢量(或 axial vector )呢?这时候就会出现一个额外的变换,这个变换,就是自旋对应的变换。

所以,等价的说,自旋是因为波函数不再是标量了。


--------------

上面就是自旋是怎么在量子力学里面出现的。下面说一下尚未被验证的,一些现有的理论,一些我的理解。

## Einstein-Cartan 理论

量子的规范理论,本质上是要重新定义导数的。Yang-Mills 理论里面,第一次把协变导数引进来了。协变导数进来了,就意味着,我们工作的流形,可能不是一个 Minkowski 的,而是一个可能有着曲率的流形。

Yang-Mills 也就是引入了曲率,因为他们使用了某个规范化的联络。但是在微分几何里面,除了曲率,还有一种东西叫做挠率。(我在知乎的一个回答)

曲率是表示时空弯曲的,但是弯曲的时空中,我们还是可以画出平行四边形的(使用正确的平行移动的定义)。然而挠率确是一个更加奇怪的量,如果这个量不为零,那么我们就不能画出平行四边形,不论我们要画多么小的,都画不出来。如下图:


(图片来源:《引力与时空》)


即便是在 Einstein 的引力理论中,他都假设了挠率为零。

后来 Cartan 尝试推广 Einstein 的相对论,他把挠率引入了进来。然后发生了一个很有趣的事情。通过调节挠率,我们可以理解自旋为 1/2 的电子。

自旋 1/2 的意思是,电子要“转动”两圈,才能回到原来的状态。(这个问题在一般的量子力学里面解释,是说,电子本身的状态,需要一个矢量聊描述。而不是我们一开始说的态矢在转动下的变化仅仅通过坐标基矢的投影来发现,那种情况对应的是标量。我们其实可以有种感觉了,非对易性,其实是因为张量的引入,其实这里的自旋,实质上也是因为张量的引入。)
为什么一个东西要转动两圈才能回到原来的状态?除了额外维度的可能性,还有一种是时空存在挠率,时空在电子的尺度上,不在是我们原来的这种平直的时空,而是有着奇诡的挠率和曲率的时空。

电子之所以只能改变方向,不能改变自旋投影大小,是因为挠率在电子看来是个特定的值,这是由时空本性决定的。

Einstein Cartan 的理论本来是把自旋密度当作挠率的源的,但是实际上由于方程可以倒过来理解,我们可以按上面来理解。


## String?

嗯,这个也有解释,但是我不懂,只是说费米子是开弦的末端,只能转两圈才能回来。


## 为什么我到现在还困惑

因为上面说了这么一大通,完全没有给我一个很清晰的,关于电子自旋的一个更深层次的解释。到底这个内禀角动量是什么?为什么本征波函数是个 spinor?或者说,为什么我们非要引入张量?上面对这个问题的解释太过丑陋了。

我想借我的一位老师的话来结束:

Please do try to attack the textbooks. It's good for your soul. Don't believe what I told you.

他一直教我们说,一定要去 attack 一些现有的想法,即便你最后不成功,那么你就开始打心底佩服这个想法了。如果直接相信书上或者别人告诉你的,那不是读书,而是盗窃。

其实物理里面现在没什么是 standard 的,有很多东西是想当然了。就好像统计物理大家都用正则统计,但是为什么这种方法是对的?这个问题压根就没有解决,在 2006 年有人利用量子信息的一些理论来尝试解释这个问题。(我提这个是因为那位教授是做统计物理的,他是 Uhlenbeck 的徒孙,Uhlenbeck 是 Sommerfeld 的 advisor,Sommerfeld 是 Boltzmann 的 advisor,做统计的传统世家。)




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