为什么e^(pi*sqrt(163))几乎是一个整数?

@但以理_高博http://verified.weibo.com/verify
长久以来,我都感觉很难理解为什么163这个数字在互联网上那么大行其道。网易(163.com)如日中天,163.net免费邮箱也成为早期中国互联网网民的珍贵记忆。这个数字究竟有何特殊?今天我发现了一个好理由:e^(pi*sqrt(163))几乎是一个整数,真的好神奇啊!@数学文化 @歌之忆

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9个答案
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方弦科学松鼠会成员,信息学硕士生

2014-03-21 15:50

这个跟数域有关……而且其实水超级深……跟j-不变量什么的都有关系。

简单来说,163的特殊之处在于,它与所谓的二次数域有关。

对于任意非平方整数d,我们可以定义数域,其实就是形如的数,其中a和b都是有理数,这些数的特殊之处是它们之间可以加减乘除,而得到的数仍然能写成相同的形式。就跟有理数里边有整数一样,我们也可以将a和b都是整数的定义为的整数。在一般的整数中,我们有唯一分解定理:任何整数都能写成一堆素数的乘积,而且方法只有一种。但在数域中这一般来说并不成立,数域中的“整数”不一定有唯一分解。而数域有唯一分解的充要条件是它的整数组成的环是所谓的主理想环,这时我们又说这个数域的类数为1。

实际上,类数为1的数域并不多,而163的特殊之处在于,这个数域的类数为1,也是所有类数为1的形如的数域中d最大的一个。顺便说一下,数域是当年Kummer研究费马大定理的时候搞出来的,可以用它证明费马大定理在某些指数下的情况。后来从此发展出来的代数数论现在已经成为数学中强劲的一个分支。

而在(我也不是很懂的)代数数论中,有一个很重要的函数叫做j-不变量,它是复平面上的全纯函数(不要问我为啥数论跟复平面有关),有很多好的性质:

而根据代数数论,当是一个类数为1的数域时,是一个整数,而则是大约等于,误差差不多就等于。当d越来越大,这个误差自然也越来越小,而就非常接近0了。这就是为什么很接近整数。

最后无节操广告一下,我们看到这里j-不变量的系数744,它的另一个系数196884也非常有趣,它是最大的散在单群最小不可约表示的维度加1。更详细的请参见这篇文章:

有限单群:一段百年征程


数学是很奇妙的,充满了各种神奇的联系,嗯。

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LePtC物理学博士生

2014-03-24 12:30

真的耶,画了一下这个函数的小数部分,大概过了130就都变得很小了...

好像是数值问题?等会我换个画法试试...

改成画散点图

坑爹呢这是!

附上最接近整数的几个 d:

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补充一下,虚二次域(也就是形如形如的数域)中类数为1的只有九种,其对应的d分别是1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。
前面的那些d不够大,因此不够小,就不够接近整数。但后面几个:


把那个j(q)的式子两边平方一下,就可以类似地得到,它们的平方也接近整数。
比如说,的平方是68925893036109279891085639286943768.000000000163739。注意68925893036109279891085639286943768并不等于262537412640768744的平方。事实上,68925893036109279891085639286943768=262537412640768744^2-2*196884。这里的196884就是j(p)的那个系数。

(看不懂不要紧,看着这些数字好玩就行了。)

(有些数,比如说37、58、232,对应的虚二次域类数并不等于1,但对应的也非常接近整数。其原因可以参看http://mathoverflow.net/questions/30787/why-is-exppisqrt232-an-almost-integer顺便说一句,我也没看懂。)

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橡树村科学松鼠会成员,化学博士

2014-03-24 14:46

163在电信领域很流行,其实是因为最早的拨号网络入网的拨号号码就是163,如果在1999年以前就开始接触互联网,都对这个数字很有印象。

其他的原因都是凑的。

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支持者: 小沙粒_1555

一直以为163.net也是网易的飘过...
现在打开一看,原来是TOM的..

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