泰勒公式有什么实际性的应用?

这样展开有什么意义?

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20个答案
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Fymanon物理学小本

2014-04-03 17:04

Taylor展开在物理学中太有用了!

简谐振动对应的势能具有x^2的形式,并且能在数学上精确求解。
为了处理一般的情况,物理学首先关注平衡状态,可以认为是“不动”的情况。为了达到“动”的效果,会给平衡态加上一个微扰,使物体振动。在这种情况下,势场往往是复杂的,因此振动的具体形式很难求解。
这时,Taylor展开就开始发挥威力了!
理论力学中的小振动理论告诉我们,在平衡态附近将势能做Taylor展开为x的幂级数形式,零次项可取为0,一次项由于平衡态对应的极大/极小值也为0,从二次项开始不为零。如果精确到二级近似,则势能的形式与简谐运动完全相同,因此很容易求解。这种处理方法在量子力学、固体物理中有着广泛应用。

反思一下这么处理的原因:
首先,x^2形式的势能对应于简谐运动,能精确求解;
其次,Taylor级数有较好的近似,x^2之后的项在一定条件下可以忽略。这保证了解的精确性。

除了Taylor级数,经常用到的还有Fourier级数和Legendre多项式。原因也和上面提到的类似。

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加饭某审计学校的计算机学生

2014-04-04 17:56

只要是用计算机做数据运算,除了加减乘除,哪里用不到泰勒?

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右京样一内科学博士在读|业余信科爱好者

2014-04-05 12:49

我觉得简单的解释是这样:

有很多问题的数学模型是比较复杂的,这些复杂的问题往往很难甚至不可能求解,或是虽然能够求解,但是我们往往需要的是一个不那么精确但是效率很高的解法。而泰勒公式的强大之处就在于把一个复杂的函数近似成了一系列幂函数的简单线性叠加,于是就可以很方便地进行比较、估算规模、求导、积分、解微分方程等等操作。

比较典型的例子的话……牛顿近似求根法(或者叫牛顿迭代法)可以看作泰勒公式的一种应用,并且很容易理解。

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adven_vaca物理化学博士

2014-04-05 12:18
支持者: 酥酥

所有非线性关系都可以用泰勒展开,丢掉高阶保留线性项作为近似。你就知道有多重要了

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实际应用的模型中,大部分的理论都要用到类似的展开吧,其实就是为了近似

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有些函数不展开就没法求
计算机计算过程实际就是按泰勒公式展开来计算的

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实际就是利用了复杂高次函数在极值点与二次函数的相似性。

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数学学的很渣,但是老师特别给我们说过,计算机各种计算都依赖泰勒公式,物理当中也是各种泰勒展开求近似,最近在学固体物理,各种振动啊,全要泰勒展开啊,很辛苦的啊

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计算机的计算过程用的就是泰勒级数展开式,物理中也有好多应用。

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比喻是个好东西心理学爱好者,统计学达人

2014-04-04 23:37

在没有计算机的情况下估算一些函数大致的取值

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把非线性系统在某一点上,用泰勒级数展开,做线性化分析。振动,控制学科都有这个应用

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简单来说就是把那些sin tan e等恐怖的玩意给简化成小学生都懂的加减乘除。
要不然不光小学生不懂,电脑也不可能懂得e是什么东西

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泰勒公式给出了f(x)的另一种形式,而从某种意义上说逻辑就是用等号右边的形式代替左边的形式从而推理下去的。

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万万没有想到正确的浪费剩下的时间

2014-04-05 22:11

这么说吧,我记得我上大学的时候用到泰勒展开最多的一门课叫《计算方法》

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数学上有一个习惯,就是把未知问题转化成一个已解决过的问题,然后就算解决了。泰勒级数形式的函数的行为就是一个计算机上的已解决得很好的问题。一旦把一个函数展开成泰勒级数的形式,它就成了一个已经解决过的问题,剩下的交给计算机就行了。

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理工科有一门课程叫做数值分析,这门课简直就是泰勒公式的应用。数值分析就是讲得各种数学式的求解,在计算机中,要求某一个问题的精确解是不可能的(因为计算机本质上只会逻辑运算),对于一个问题在不影响最后结果的情况下近似解是很可取的,泰勒公式就为这些计算提供了这样的方法,用简单式子逼近复杂式子,在误差范围内求出结果

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1_super工科硕士在读

2014-04-08 15:27

在工程运用上,很多工程问题是不需要精确解甚至是不可能得到精确解的,这时候泰勒展开就突显其作用了,比如考虑用的牛顿-拉夫逊迭代法,将功率方程展开时就取了一阶项

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lyounger粒子天体物理博士生

2014-04-08 15:35

性质比较好的函数可以用泰勒展开成为一系列幂函数的和,而幂函数是我们最熟悉的函数,而且最重要的是:它可以数值地算出来

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支持者: McZoden

这就是个工具,有很多地方会在理论上用下,但也就是用下,不用搞的刷很多题,没什么意义

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