假设不考虑太阳热量的影响,一颗温度为1万度,重量和地球相同的行星,需要多少年才能它的温度才能下降到摄氏0度?

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4个答案
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LePtC物理学博士生

2014-04-22 18:45

好像很久没写 what-if 了...

那就写一个吧,嗯,毕设什么的我才不着急呢

既然不考虑太阳对热量的补充,那么就只考虑一个孤零零的地球放在广阔的真空中吧~

另外,云层能够高效地阻止红外辐射的损失[1],所以大气层我们也不要啦~






于是地球君就被我们简化成真空中的球形鸡啦~

(物理学家建模就是这么滴没节操)

一万度(取开氏度吧)已经超过地核的温度了[2],相当于太阳色球层内的温度,所以我们的球形鸡会非常亮,主体由熔化的铁镍构成,表面是一层铁镍蒸气 ... 不考虑蒸气逃逸到太空中,真空中的球形鸡损失热量的主要方式就是通过黑体辐射了:

上图是不同温度的黑体辐射的功率谱,将同一个温度的功率进行积分,得到的就是斯特藩-玻尔兹曼定律:


R是单位表面积发出的辐射通量,和黑体的温度的四次方成正比

然后我们需要知道铁镍在高压下的比热容[5],地核铁镍的比例为[6],几乎都是铁啦

以及球形鸡的半径:6373 km,质量:5.97×10^24 kg[7],有了这些之后 Matica 酱就可以计算啦~

这是随后 5 个世纪间的温度下降情况:

5 个世纪之后,球形鸡的温度还有 1100开氏度

真是急死人了,我们继续求数值解 ...

表面的铁镍都凝固后,会降低散热的功率,以下我们就简单地取它的平均温度,做个估计好了

上图从第 100 个世纪画到了第 500 个世纪,在第 350 个世纪时,温度终于降至了摄氏零度!

额,题主辛苦等了 350 个世纪等零摄氏度是想干嘛呀?...


果然球形鸡模型不能满足果壳众的追求啊,那我们再进一步加入温度梯度吧~

我们参考地球的温度梯度,不过我们要先去掉太阳和大气层 [注1],那么地表的温度就会降至类似现在的极地+极夜的情况,已经低于零摄氏度了。另外地球内部有放射性元素加热,我们就让铁球内部也和地球一样吧。简单地分地幔和地核两层,得地球内部的平均温度约 2500 K,地表的温度约 250 K,假定地表温度和平均温度始终是 1/10 的关系,从 10000 K 开始 [注2] 按地表的温度作为热辐射损失求解方程:

辐射功率降低 1/10 后,降温过程大约变长了一个数量级。上图一共画了 4000 个世纪,大约在第3400 个世纪时,地表温度降到了零摄氏度,平均温度为 2730 开氏度。

[注1] 维基上有这个现成的词条:遥远未来的时间轴,地球的外地核需要 23 亿年才会凝固。但这不是重点!重点是在有太阳和大气层的情况下,地球的温室效应会失控,然后反而会升温!在 35 亿年后,地球会变得跟今天的金星一样 ...

[注2] 初始是多少度已经不重要了,因为最后降到零度的过程远远比初始时从一万度降到一千度的过程漫长。



参考资料:

[1]How does the Earth lose heat?
[2]Wikipedia-Inner_core
[3]维基百科-黑体辐射
[4]Wikipedia-Black_body.svg
[5]Mao et al., Phonon Density of States of Iron up to 153 Gigapascals[J]. Science, 2001, 292(5518): 914-916.
[6]Dubrovinsky L et al. Body-centered cubic iron-nickel alloy in Earth's core[J]. Science, 2007, 316(5833): 1880-1883.
[7]维基百科-地球
[8]Wikipedia-Timeline_of_the_far_future


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阿尔吉农飞岛国语言专家

2014-04-22 15:01
支持者: 梦碎了 qooT 布欧

只考虑辐射散热的话,如果地球的平均比热容是C,密度为ρ,半径R,那么可以用斯特潘定律列出方程

这个方程很好解。地球的平均比热容就算是5 kJ/(kg K),密度算是5 kg/m^3,这样算出来的结果大约是3e19秒,非常非常漫长。

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支持者: 竟敢如此年轻

你参考月球就知道了,没有大气、没有太阳照射,月夜到零下一百多度,你那个一万度不算什么。下降到零度应该是按天算。

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支持者: 麦麸

Do you want to build a snowman ?这张图片确实赞!!!

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