0.9循环究竟等不等于1?

首先声明我是小学生,是的你没有听错就是小学生。
有人说:1÷3=1/3=0.3循环
1/3=0.3循环
等式的性质:1/3*3=1 那么0.3循环*3=0.9循环
所以0.9循环=1
但我不这么想
问题出在0.3循环身上
列个1÷3的竖式,当然你肯定不可能除尽,在最后永远会有一个余数
这个余数导致了0.9循环=1
商×除数+余数=被除数
商是0.3循环 除数是3 乘出来确实是0.9循环,但是还得加个余数
不知道0.9循环究竟等不等于1

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15个答案
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傅里叶变黄油猫软件工程师,应用数学专业

2014-05-17 20:49

(1)等于
(2)证明方法不对,不可以用“1/3=0.33……” 来证明 “1=0.99……”,因为两个是同一个问题(你自己发现并提出疑惑了,赞)。
(3)这是果壳上最多人问过的问题之一,果壳已有文章详细解释:http://www.guokr.com/article/19218/
(4)这个问题确实没有可以用小学知识解释清楚的方法,最简单也要用高中数学的无穷等比数列求和,但你能提出这个疑问而且提出你的想法非常好,所以加油哦,学了高等数学就不再困惑了,数学和科学等着你去探索。

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bay618粒子物理博士

2014-05-17 21:06

我也不知道怎么跟小学生讲这个问题, 不知道跟芝诺追乌龟有没有联系,都属于早期数学里对无穷的理解
比如把1 看成1天, 那么0.999...天就是0.9天+0.09天不停的加下去
每一段都是大于零的, 每加一次我们就多过了一点时间, 让人欢喜的是每一段都踏踏实实的大于0哦.
但括弧反证开始括弧完在最后永远会有一个余数 到不了1天.
也就是说我们可以无穷无尽的活一段时间下去, 永远到不了第二天, 这样就不用担心明天组会上被老板骂了

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首先注意0.999…不是一个数而是无穷级数0.9,0.09,0.009,0.0009…的和,这个和严格等于1。

给出一个简单的思路:
实数是连续的,这意味着任意两个不相等的实数之间都“夹着”无限多个实数。
而在0.999…和1之间不存在任何实数,故二者相同。

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支持者: 狱门绯炎

既然是小学生,实数理论之类的,我这里就不提了
首先先告诉你答案,0.9循环严格等于1,不是什么"无限逼近"“无限趋近于”,在数学里面,0.999....只是一种写法,一种记数方式,在数学家眼里,0.9循环就是1,只是写法不同。

小学课程中,会学到追赶问题的应用题,我以这个为例
甲乙两人相距100米,同向前进,乙在后追赶甲,
已知甲的速度1m/s,乙的速度2m/s,问多长时间后乙追上甲?
小学老师会告诉你这样解题,两者速度差是1m/s,相距100米就需要100秒来追上
2m/s-1m/s=1m/s
100m÷1m/s=100s
答:100秒后乙追上甲。

好,如果我们换个方式思考,乙要追上甲,首先要追到甲原来的位置,乙速度2米每秒,相距100米,需要50秒的时间追到甲原来的位置,但是同时甲也向前前进50秒了,也就是前进了50米,乙又要继续追到乙的位置,也就是还要前进50米,需要再花25秒,甲又前进了25米,乙又要花12.5秒追赶,以此类推,不断的追赶,总共需要的时间为
50+25+12.5+6.25+3.125+......整理一下式子为
100*(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+......)
也就是说,乙在不断接近甲原来的位置,需要的时间越来越短,到几秒,零点几秒,那这样乙到底能不能追到甲呢?

等你上了高中,老师会教你等比数列求和的算法,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
100*(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+......)
=100*[(1/2) /(1-1/2)]
=100
嗯,看来高中老师和小学老师的答案是一样的,他们都没有骗你。

好,回到0.9循环的问题上,0.9循环可以看成是是一个等比数列的和
0.9+0.09+0.009+0.0009+...
=9/10+9/100+9/1000+9/10000+...
=9(1/10+1/100+1/1000+1/10000+...)
等比数列求和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
=9[(1/10)/(1-1/10)]
=9*1/9
=1

也许以上的式子,你可能看不太懂,但是你只要记住一点,乙在100秒的时刻刚好追上甲,0.9循环就是等于1,
如果认为0.9循环是无限趋近于1,不能等于1
就相当于认为乙永远追上不甲,认为乙只能无限趋近于甲,这个是十分可笑的!十分可笑的!十分可笑的!

好久没打这么多字了,最后说句话,楼主还小,希望你能养成正确的数学观,乃至世界观,这个世界很混浊,需要你有一颗清澈的心来辨别。

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天马小loli文字游戏小组管理员

2014-05-17 21:46
支持者: 活雷锋

这种问题我除了"呵呵"还会说什么?为什么要邀请我回答这种问题?

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我要声讨一下我们的小学课本(人教版):

它是怎样引进无限小数的呢?

“小数部分的位数无限的小数”……
且不说定义一种数就应该定义 它的各种运算(小学课本有讲怎样算无限小数的加减乘除吗?),
单看这句话本身。
什么叫无限?
罢了,这不是能给一般的小学生讲明白的概念。
那什么是小数呢?


“这样的数叫做小数”……
这算什么定义?
什么叫“这样的数”?

讨论数学问题的前提是先把定义搞清楚。但课本都把定义搞成这样 ,我们怎么讨论?
也怪不得有些人会说出0.00....1这样的“数”……

----

关于“0.9循环究竟等于1吗” 的问题,还是看看@Snorri 的这篇日志吧:http://www.guokr.com/blog/406852/不过小学生不一定能看懂。

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这都属于实分析的内容!!!是一个柯西序列!

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阿司匹林_26779我是中国签派员的希望

2014-05-20 10:54

大学的高等数学已经都还回去了
偶是进来学习的

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1/9=0.11111...
2/9=0.22222...
3/9=0.33333...
...
9/9=0.99999...=1
证毕

0 1

我觉得要证明这个问题首先要给出“=”的定义: x = y
> 0, |x - y| <
.

0 2

确实是1.这是因为这种小数是不规范的。。n进制的小数,不能从某一位开始全是n-1.

0.xxxxx...xx9999999999999999

所以不是严格意义上的十进制小数

0 4

@Kk卡咔
打个比方吧,比如我这里有1公斤面粉,我拿出来0.9公斤,那就是900克。
拿出来0.99公斤就是990克。
拿出0.999公斤就是999克。
再多两个就是0.99999公斤,也就是999.99克。
再加5个就是0.9999999999公斤,也就是999.9999999克。没错吧?于是我把这些拿出来的再放回弹簧秤上面去秤,你猜是多重?秤会告诉你,还是1公斤。为什么?秤的精度不够,没办法精确到微克的级别。
你就可以这么理解,一个数无限接近于1的时候其实他就等价1了,就像这个拿出来面粉一样。

实际上这个比喻不严谨,数学是严谨的,生活中的东西其实是测不准的,以后你就会明白“真值不可测量”,因为精度的不足,一把标到毫米的尺子,你只能读到毫米,毫米后面的一位小数是估读的,可以是0.3也可以是0.4,实际上介于0.3和0.4之间。
但是,除非做研究,生活上的数学必然是不会太严谨的。而且做研究人家也不会管1/3到底等于0.3循环还是别的什么,人家就写着1/3。
把一个苹果当成1,平均砍成3瓣,一瓣就是这个苹果的1/3,三瓣就是一整个苹果也就是1。

上面有点跑题。

还有你前面的理解错了
1/3=0.3循环这句话是没错,但是0.3循环*3=0.9循环就不对了,因为你并不知道这后面到底有多少个3和多少个9,这就是精度的问题,你可以说它有100个3,1000个3,但是实际上它是无限的。所以当0.3循环*3的时候它就已经等于1了。
其实这个问题也可以是一个测量精度的问题。
--------------------------------------------上面都是我瞎掰的--------------------------------------
正经回答:初等数学没法解答,等上到高中后差不多就能理解了。

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这个问题其实就相当于定义0.000...1=0,所以没什么好讨论了

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