康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理是什么?

在追《万万没想到》第二季。
第二集里面这句台词,不明觉厉哇。
谁能解释一下啊?
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“康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理你知道么?法布里-珀罗多光速干涉你懂么?单粒子薛定谔方程的数学表达形式你会写么?连最简单的二阶线性偏微分方程你都不会,还有脸在专属学霸的自习室看书?”






(对了,这个小朋友就是TF Boys里的易烊千玺)

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3个答案
98 0

Ent古生物学博士生,科学松鼠会成员

2014-07-09 17:19

那个,我就想说,这都什么年头了,还靠炫耀名词来冒充学霸……维基百科摆那儿呢,随便抄个名词谁不会啊。互联网出现之前的聪明人,和现在的聪明人,标准已经不一样啦。

而且Cantor–Bernstein–Schroeder theorem 别看名字那么长,其实本身很简单。用通俗语言打比喻就是,假如我有两个筐,一筐苹果一筐梨,梨的数量不比苹果少,苹果的数量也不比梨少,那苹果和梨就一样多。

……真的,就这样。

当然课本里会说“若对集合 A 和 B ,存在单射 f : A → B ,也存在单射 g : B → A,则必存在双射 h : A → B”。但这就是换了严格语言来表述罢了。

为啥这么常识的东西都要给个定理呢?数学家有这么笨?

回头看看里面的第一个名字,康托尔。他和他的小伙伴们在19世纪末20世纪初都干了啥?数学严格化。他们搞集合论的梦想之一是,取消常识的作用。我们要做数学,要做严格的数学,那里面是不应该有“常识”的地位的,哪怕是最明显的论断,只要能变成逻辑推导出来的定理,就一定要变成定理。这三位之所以能挂名,贡献就是证明了这个常识。这事儿也不太容易,不信你来证一个。

当然这个梦想后来发现是办不到的……但那就是另一个故事了。

不过里面还有个梗。数学家一般是单打独斗的,两人合作已经有点罕见,哈代多年和利特伍德合作的结果是别人以为哈代和利特伍德是一个人,“利特伍德难道不是你用来发表那些比较差的研究时用的化名?”但这定理却出来三个人——这种情况下,十有八九是独立发现或者后人改进了前人的证明。这个案例里事实也的确如此:康托尔当年提出来这个定理却没有给证明,后来他自己写了一个证明,Schroeder 独立地写了一个证明,Bernstein作为康托尔的学生给了另一个证明。其实戴德金还写过一个但是没有及时发表,活该。

而康托尔之所以不能独占这个名头,是因为他自己的证明有个严重问题:依赖于选择公理。

选择公理的不严格表述是说,如果我有一堆筐,每个筐里至少有一个苹果,那不管筐有多少个(哪怕是无穷多),我一定能从每个筐里不多不少拿出一个苹果来。

这个公理十分讨厌。它完全符合最浅显的直觉,而且特别的好用,早年大批数学家都不自觉地在用它。但是,如果筐的数量是无穷多,而苹果之间又无法区分,那么这个公理并不能给出一个可以实施的方案,那凭什么说你就真的能拿出来?直到现在还有一小批数学家对此耿耿于怀。你可能会觉得很可笑,但数学家就是这么一群人……

所以,大家的态度是,这种不靠谱的玩意儿能不用就不用。后来人想出了不用选择公理就能证明的办法,所以他们也要挂名。


好吧不小心扯了这么多……我其实想说的是,这个互联网的时代拽个名词根本不算什么,光是名词本身的话连百度都能搜到。真要学数学的学生,这种八卦一讲一大把,该证明该推导该应用的时候更是毫不含糊,这才是真本事


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PS 上面“法布里-珀罗多光速干涉”明显应该是光束干涉嘛,一定是编剧抄错了。编剧可能没有理解这个断句,是法布里- 珀罗 多光束 干涉仪,这是个仪器,几乎没有用这个指现象的,所以英文应该是Fabry–Pérot interferometer更好;optic这个词是不需要的,就算要用也最好用optical,因为按照最标准的用法,optic指的是“眼睛的,视力的”,optical才是“光学的”。

PPS薛定谔表达式那段的英文是错的,arithmetic是“算数”,是加减乘除,mathematic才是“数学”,包含代数几何分析等等领域。薛定谔方程连微分都上了,怎么可能写出“算数表达式”嘛。

PPPS 我见过的二阶线性偏微分方程英文语序都是Second-Order linear PDE,二阶在前,线性在后,中英一致。不过这是次要问题啦次要问题。

PPPPS 写这个吐槽文是被某大人逼的,冤有头债有主出门左转是Mandrillus sphinx

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方弦科学松鼠会成员,信息学硕士生

2014-07-09 16:52

这个定理的意思是:对于两个集合A和B,如果存在从A到B的单射,以及从B到A的单射,那么必定存在A与B之间的双射。

这个是集合论课前几章的内容之一,具体证明是构造法,它对于确定基数等等的性质很有用。

http://zh.wikipedia.org/zh/%E5%BA%B7%E6%89%98%E5%B0%94%EF%BC%8D%E4%BC%AF%E6%81%A9%E6%96%AF%E5%9D%A6%EF%BC%8D%E6%96%BD%E7%BD%97%E5%BE%B7%E5%AE%9A%E7%90%86

1 4

不明觉厉。
追着暴帅的千玺截图而来。

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