椭圆轨道线速度与时间的关系?

搜了半天,维基上只有线速度和距离的关系

在还知道轨道离心率或半短轴或远/近拱点高度的情况下如何计算轨道线速度与时间的关系?
数学学得不好,解了半天解不出来。想用 Mathematica 求数值解也以失败告终
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用高中数学知识可以求出距离和角度的关系


其中 为从近拱点开始走过的角度
从而可以得到速度和角度的关系 ,但之后的积分超出的我的能力
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其实背景是我想用3Ds Max做一个闪电轨道练练手,结果发现不好模拟轨道速度,不知道@POCKN 有没有遇到过这种情况?

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3个答案
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LePtC物理学博士生

2014-07-26 09:48

很简单呀,就用极坐标下有心力的方程嘛:

第一个方程是加速度在极坐标下的表达式,引力始终沿径向,第二个方程是面积速度守恒,用它可以代替

然后交给 Matica 酱,“啪”地一下结果就出来啦 ~

看到求解结果的我眼泪掉下来 ...

Matica 酱傲娇了,这个结果根本没法用嘛 ...

有时间再试试手算解微分方程吧,顺手 @邪兵魔将 @SpaceXploration @章鱼喵.时见疏星

还是数值解大法好,先上个数值解的结果吧

闪电轨道是指近地点很近,远地点很高,这里我就取个扁得比较夸张的参数吧,看得更清楚

这里用到了一个公式 ,πab 是椭圆的面积,T 是周期 12 小时

导出了一个动画,演示面积速度守恒,两根线之间的时间差是一小时


线速度随时间变化的图像是酱的,不造对不对 ...

放大了一下那个尖,原来是光滑的,如果有不可导点那肯定就不对了


(这么变态的函数一定是超越的,嗯嗯 ...)

距离随时间变化的图像

注:数值解出来的周期不为 12 小时,约为 10.4 小时,可能是初始参数设置的问题


我找到了运动方程的参数形式的解,给这帮人吊炸天的变形技巧跪了 ...

(金尚年 等,理论力学(第二版),高等教育出版社,78 页)

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ProtossProbe工程力学专业,果壳SpaceX小组组长

2014-07-26 12:09

接下来我来写(chao)个(chao)答(jiao)案(cai)

我们知道,不管是椭圆轨道、双曲线轨道、还是抛物线轨道,其轨道方程是都可以用

来表示,其中r是两个天体的距离,h是单位角动量,μ是引力参数,也就是我们常见的G*M,e是轨道偏心率,θ是真近点角wiki),用来确定天体在轨道上所处的位置。
因为h是单位角动量,
代入上面那个公式,得到:

两边同时积分:

右边的积分形式取决于e对应的是圆、椭圆、双曲线还是抛物线

下面以椭圆轨道为例,
当0<e<1时,轨道为椭圆轨道,右边积出来为:

被称为平近点角wiki

再由椭圆轨道周期公式,可将上述式子化简为:

也就是说,对于椭圆轨道,其平近点角随时间均匀变化,对于圆轨道,平近点角就等于真近点角

对于椭圆轨道,我们显然要求解平近点角和真近点角的关系,才能得出真近点角与时间的关系,进而求得轨道位置、线速度与时间的关系。为此我们需要引入偏近点角wiki),见下图:

(或者)代表真近点角,代表偏近点角,代表平近点角。

偏近点角与真近点角的关系可以用解析几何的知识得到,具体就不推(chao)导(shu)了

将上面这个公式代入椭圆平近点角的定义公式
得到如下方程:

该方程是椭圆轨道的开普勒方程,是个超越方程,可以使用牛顿迭代等数值解法求解。

有了这些公式怎么解决任意时刻下的线速度呢,首先可以假定一个时间零点,一般取近地点时刻,此时
然后取任意时刻,利用算出平近点角,再利用求出偏近点角,再利用求出真近点角,再利用算出与中心天体的距离,再利用算出此时的线速度。
恩,这应该就是常规解法,有兴趣的Mathematica大神(@LePtC)可以画一画速度随时间变化的图像。

上述只讨论了椭圆轨道,对于其他轨道,基本思路是一样的,不过其平近点角公式、开普勒公式等等都有所不同。有兴趣的可以阅读 轨道力学/柯蒂斯(Howard D.Curtis)这本书的第三章(以上内容都是我从此书搬运的...)除了上面的方法,书中还有一种使用全局变量和拉格朗日系数的方法,对于所有形式的轨道方程(椭圆、双曲线、抛物线)都适用,不过对数学要求太高实在是没看懂。。。

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速度和距离的关系可以从能量角度不太麻烦地解出
但是和时间的关系,因为事实上涉及了椭圆周长的问题……所以估计很难有精确的表达式吧

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