四维空间中是不是桌子要有四只腿才能立住?

一维空间没桌子,二维空间桌子要两条腿才能立住(就是丌形)(纯属想象),三维要三条腿,那四维空间中是不是桌子有四只腿才能立住?五维呢?六维呢?

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48个答案

方弦科学松鼠会成员,信息学硕士生

2014-07-28 09:11

其实如果仔细定义一下的话,这样说也不是不行:n维欧几里德仿射空间中的“桌子”最少需要n条“腿”才能“稳定地立住”。

首先我们来定义一下“桌子”。一张n维空间内的“桌子”主要有两个组成部分:“桌面”和“桌脚”。“桌面”应该是一个n-1维的子空间,比如说三维空间的桌面就是一个二维的平面。而“桌脚”则是在桌面下方某处垂直伸出的一根柱子,我们将它简化为一根线段,线段的尽头是一个点。那么,因为“桌脚”伸出的点是n-1维的桌面,伸出的长度是1维的线段,它可以取到的空间是n维空间中的任意点。最后,“稳定地立住”应该是“桌子”只有一种摆放的方法(除去因为空间等距变换得到的不同方式),也就是说,“桌面”和“地面”(也是n-1维空间)的相对位置应该是固定的。如果从“桌面”建立坐标系,“稳定地立住”意思应该是,通过所有“桌脚”端点的n-1维子空间应该只有一个。

那么,结论就很明显了:要确定一个n-1维子空间,需要n个处于一般位置的点。也就是说,要“稳定地立住”,至少需要n个“桌脚”。

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LePtC物理学博士生

2014-07-29 11:25

@方弦 把问题抽象为数学命题了,我来给出一个数学证明吧

求证:n 维欧氏空间中确定一个维线性子空间 L,至少需要 n 个点,属于该子空间

思路:先把 L 上的点连接起来,转化为 L 上的向量,然后用向量生成子空间。唯一的问题是子空间必须有零元素,即桌面必须过原点,可以试试用分类讨论解决。

证明:

设向量组为欧氏空间 的一组元素,
为由 生成的子空间

证明使用到以下定理,定理的证明请自行查阅任何一本线性代数或高等代数教材
定理1:中包含的最小子空间
定理2:的维数等于 的秩,因此 的秩为

①若原点属于 L

中有个线性无关的向量,且 β 中没有零向量,那么这个 β 向量的端点加上一个原点,共有 n 个属于 L 的点来确定 L

②若原点不属于 L

从 L 上任取一点 b,向量从原点指向 b,然后以 b 为起点建立另一个线性空间,L 在中的生成元为,则 L 仍然需要 个线性无关的向量生成,加上 一共需要 n 个向量的端点来确定 L


证明的不是很简洁,不知道有没有更直接的定理来证明?

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M_Nemo计算机 软件 硬件

2014-07-28 18:02

感觉这说法有一点问题。。第一:桌子有一条腿也能立起来。第二我感觉这个问题可不可以表述为;N维空间里需要N个点才能够着一个此空间内的“面”。

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桌子能否站立,在任何维度下,和有几只腿没有直接关系,只和它的受力关系有关!

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这是一个从三维投影看,一个在四维空间中绕一个平面旋转的四维超正方体。(来自维基百科)
请根据这个想象四维空间……

07/30补充:
补充一下个人意见吧,有错误的话请指出就好了:
1、 首先要注意上面这个图是一个三维投影,跟我们看到三维在平面上的二维投影是一个意思,也就是说,上面这个图仍然是三维的。
2、 四维在三维上的投影是我们平时理解的“体”,简单说就是用光照到四维物体上,得到的阴影是一个三维的形状。比如上面这个超正方体的投影就是立方体。
3、 在三维中物体可以绕点旋转,在四维中物体只能绕面旋转。
4、 根据投影面想象物体本身是很困难的,毕竟我们没有见过四维的物体。
5、 请注意四维空间的物体本身在旋转,想象一下三维物体在空间中绕点旋转时,其在平面上的二维投影的状况去帮助了解。

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是在问:N维空间需要多少个点可以构成一个平面吗?

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其实lz的问题相当于“几个点确定一个n-1维物体”。不妨用降维的思路来考虑。对于1维线,不在0维上的2个点可以确定(2个点在0维上意味着重合);对于2维面,不在1维上的3个点可以确定(3条腿都在一条线上,桌面仍不稳);那么,对于3维体(也就是lz想象中的4维桌面,其实应该是一个3维的“桌球”),不在2维上的4个点可以确定。也就是说,只要这4条腿不共面,就可以使一个“桌球”稳定。
但问题是,这4条腿朝什么方向呢?仍采用降维思路。1维“桌线”,2条腿伸向第2维并处于同向;2维“桌面”,3条腿伸向第3维并处于同向;3维“桌球”,4条腿应该伸向第4维也就是人类眼中的时间维(特别强调“人类眼中”,因为就自然而言时间维和任意一个空间维没有本质区别)的同一侧,也就是说这4条腿必须是动态的“伸缩腿”,并同时指向未来或者过去。

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冷轧金属材料工程人士

2014-07-29 20:09

桌面是个面,桌腿与桌面垂直(或者是相交),那么也就是说“桌子”最起码要存在于三维空间,所以在一维、二维空间中是不存在“桌子”这种东西的,以此类推,四维以上空间的桌子与桌腿数也应该没有必然的联系。

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四维空间中的变量要有四个条件才能约束住,就像三维空间中需要三个条件,而二维空间中两个条件就能约束住一个变量。但我感觉这个四维空间中也只需三条腿,这不是维度问题吧,物理问题。

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= -=三维空间你把腿做粗一点点没什么问题吧。。。

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支持者: D.X.

我表示,其实那是因为我们有重力,当我们发现另一个空间里没重力时,啥都没意义。

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一个脚要理解为一个点吧...麻烦大脚桌子回避

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支持者: Wyborowa

其实我觉得这道问题,大家都没有抓住重点,桌子之所以需要三条腿,是因为,可以证明:只要地面是连续的,三条腿就可以站住,扯到空间有点扯得远了吧!看问题抓不住实质要素!

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我不清楚如果重心和平衡把握的比较好,三维空间中的桌子,用一个无限小的点是否能平衡的稳定住?

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墨子鱼(业余手绘爱好者,天体达人,死理性)

2014-11-15 19:42

我认为 我们通常认为的思维空间不一定就是正确的,我们所说的四维空间 是建立在我们对多维空间认知的基础上的假设,根本不可能用三维方式解析,就像二维空间的生物是无法去理解与想象三维空间的情况比如:假设我们 有一群二维空间的生物,我们将其中一个人以三维空间的概念将他取走,那么,在其他二维生物的感知中,一个人忽然以他们无法理解的情况消失了,他们是永远无法有这种“高”的概念,不存在任何侥幸!所以,我们所谓的想象再怎么夸张都是建立在我们三维概念认知的基础上的,这种跳跃性不成立

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AS001为科学之美着迷 又贪恋人间灯红酒绿

2014-11-17 09:23

这个应该可以简化为“在n维空间中需要n个该空间的点才能确定一个其中的n-1维子空间”。从直觉上来说是很确定的,不知道怎么简洁地证明。

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“四维”“五维”一直到“N维”,这一切“空间概念疑问”的来源都是爱因斯坦相对论,都是为了在爱因斯坦相对论中使用“洛伦兹变换”而不得不采取的一个手段,同时也是爱因斯坦先生将“光速”绝对化的结果。其实“光速”只是电磁场传递电磁作用力的速度,它是由电磁场自身的性质决定的,是一个非常重要的物理参数。问题在于爱因斯坦先生将其错误地理解为“一种微粒子的机械运动速度”并且将它绝对化了!“光速”的绝对化必然使得“空间”“时间”“质量”相对化,与此同时还给我们带来了一大堆奇奇怪怪的疑问。这么多年了那么多人耗费了大量的时间精力去研究这些课题。很遗憾,至今仍然没有令人满意的结果!冷静地想一想,以后也不可能有能令大家信服的统一结论!不能照这样走下去了。所以说:“四维空间中是不是桌子要有四只腿才能立住?”这个问题也是不可能有能令大家都接受的结论的问题。


0 0

首先要明白真实宇宙中第四空维是什么,它不是一个长度维而是一个状态维,我就拿题目的桌子打比方:三维空间中的三脚桌改变第四维状态,三只脚长度伸长或缩短,在四维空间还是站得稳,,,真实宇宙中没有空间第五维

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支持者: AAArthur

楼主的问题其实等同于:
二维空间,用两点确定一条线
三维空间,用三点确定一个平面
四维空间,是否能用4个点确定一个“体”(三维面?)

这个请数学大神来论证一下吧。

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根据楼主提出问题的方式:二维空间桌面是线,最少两条腿支撑,三维空间桌面是面,最少三条腿支撑。
这个问题可不可以理解为:在一个n维空间内存在两个n-1维度体系,已知两体系互相吸引,其中A体系固定,B体系有向其靠近趋势(废话),在两体系间添加点对点的限制条件,求B体系达到与A体系相对稳定状态所需两者之间的最少限制条件数量?

0 1

3维的东西可以存在于4,5,6..维空间中, 就像2维的面, 1维的点都可以存在于3维空间中一样.
桌子本身是个3维的东西, 就算放到4,5,6...维空间中也是个3维物体.

目前不清楚重力是怎么在4维空间中作用的, 假如重力还是持续向一个方向, 那3条腿的桌子放在4维空间中一个与重力方向垂直的2去维面上即可不倒.

不过在高维中看待东西的方式可能不同, 甚至重力方向也未必是一样的...

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我们无法理解三维以上的世界,就好像二维生物无法理解"高"这个概念

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物理上不存在多维空间的说法,这个纯粹是数学上的臆想而已。

所以。。不要拿物理问题放在数学臆想上证明。。

最基本的,你别往高处说,“2维”平面里,桌子要如何才叫做立着的?,画在纸上的桌子是不是立着的?那几个角都没关系吧

0 1

立住是啥概念, 几个维度跟重力没关系啊。 没有重力, 在失重的情况下,一千条腿也立不住啊

4维空间是哪四维? 没有说3维一定就是XYZ三个维度吧

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桌子的腿有多粗???
如果是一条打醋注资,不就可以么?

0 2

同样存在无限相量的问题,如题,昨天有牛顿的经典物理和量子物理之争,无论三维四维多维,极大和极小向量,结果也不同。比如说在平面二维立桌子,可以想象为无限大圆中一段直线,或一点,在三维中就像地球上摆一桌子又或碳原子震荡

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Akira_L网络工程师

2014-07-31 00:57

四维里桌子还是只需要三只脚就够了。

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这里讨论几条腿能站住。。那些个说3维里一条腿“粗一点”就能站住的洗洗睡吧。不要捣乱了。。

3维中“桌子”要立住,首先要有个固定的重力方向,然后要有立住的面相对固定。
首先,因为4条腿的桌子其实是不稳的,可以想象下一条腿砍掉一节肯定会晃,最终还是靠3条腿立住,除非是完美情况4个桌脚刚好在立住的面上,现实中是做不到的,只有数学里完美模型才可以。

回到问题中,3维中桌子立住可以理解为,重力方向确定情况下,2维的桌面至少需要3条1维的桌脚来固定。

引申一下,想象2维中,各减1维,2维中的桌子要立住,可以理解为,重力方向确定情况下,1维的线(桌面) 至少需要2个0维的点(桌脚)固定住。

同样可以推测,4维中的桌子要立住的话,那重力方向确定的情况,3维的体(桌面)至少需要4个2维的面(桌脚)来固定。


重力也是需要讨论的。。这里没人讨论我有点奇怪。
2维是面,重力可以想象成N条线向一个方向压。
3维是空间,重力可以想象成N个面向一个方向压。
4维是什么呢,重力是不是可以想象成N个体向一个方向压呢?

0 3

首先要确定重力是否在其他维度起作用,并且指定重力方向。
比如一维空间只有前和后,那么桌子也只是一个线段,没有面存在,于是腿就是桌子,桌子就是腿=1
二维空间最少腿=2
三维空间最少腿=3
思维空间我想不出来

0 3

可以说桌子在时间里单向,那么桌子在时间平面的话就可以到处飞哈哈哈

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可是,你好像忘了三维世界里桌子一条腿也可以立住:)

0 4

神秘的东东资不深结构工程师

2014-11-14 17:18

三维空间,桌子有一个腿就能立住。

用大学理论力学的知识解释一下:桌面有三个"自由度",分别是x,y,z三个方向。如果用一根两端固接的刚性杆连接桌子和地面,那么这个刚性杆对桌面将会产生三个方向的约束,正好限制了桌面的三个自由度,形成一个“静定结构"。所以桌子就立住了。

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支持者: 猪王

严重同意楼上的观点,要理解维度,建议看一下科普片《维度:数学漫步》

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这是在用最简单的方式,让三位空间的人和四维空间的人对话吗?

如果说在三维空间里站立的桌子需要3条腿,实际是3个柱体支撑一个桌面(平面),在时间趋近于零的状态下达到稳定状态。
就是三个柱状的三维物体支撑一个扁平的三维物体,但我们还可以进行简化:
桌面是个平面刚体,厚度并不重要。(二维)
桌腿是个竖立的线段刚体,截面积并不重要。(一维)
条件是,桌面的重心投影在三个桌腿和围的面积内。
并且还要一个抽象的地面,作为稳定的参考系。(二维)

那么在二维空间里站立,实际是两个点把另一条线段的位置进行了限制,在不移动整个平面的状态下(整个平面在极限小的空间变化内趋向于稳定)。
也就是说,
桌面是一条线段,
桌腿是两个点,
并不像楼主说的是个“∏”。

由于,在三维空间里我们可以任意弯曲二维空间,实际我们操纵的是第三维。
我们又知道第四维是“时间”,
那么,需要在四维空间里站立的桌子,那个被操纵被任意弯曲的就是“时间”。
我们可以猜想:
在五维趋向于零的状态下,达到稳定状态的四维空间的桌子,在三维空间里是一个永恒的物体。
桌面是一个扁平的三维空间,时间不重要。
桌腿是6个平面,对桌面这个空间的大小进行了限制。(这点我没有想清楚,但是我认为是一个合理解释,请斧正)
条件是,三维空间的质心投影在六个平面和围的空间里。(又是瞎猜的)
并且还要一个抽象的地面三维空间(地面)作为稳定的参照系。两个三维空间在永恒的时间上保持相对稳定的关系。我们可以想象成:一个“桌子空间”在套入它的一个大空间(地面空间)内永恒的(时间上)稳定。

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在物理上四维好像是长度,数量,温度和时间吧

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我觉得你对维度的理解有严重的、本质的错误。

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不是,第四维是指时空结构,而其他三维是空间结构,在四维空间里,三条腿就可以立住了,因为我们所处的世界就是四维的,立住的含义包涵重力的作用,而重力正是由第四维提供的。

2 30

一维点,二维线,三维立体,四维加时间,五维就要加时间平面。如果有时间加进来的话,这个桌子要不要腿就未知了。

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不知道为什么每每看到有人说第四维"就"是时间我就想糊他一脸四维数组

0 5

土豆地蛋电子科学与技术

2014-07-28 17:42

看完这个问题的所有答案只有一个感想:请踩答案的人出来解释一下为什么。

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