人类有史以来发明的最大的数字是多少?

我记得出现在博弈论发展史上的一次实验

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方程应用数学专业

2014-09-17 18:46

说数字是「发明」出来的,感觉怪怪的。我就把问题理解成「人类用得上的最大的自然数」是多少吧。


大家都一定用过一种构造大数的方法:

在1后面加好多好多0

这应该是最简单直观的构造大数的方法了。
事实上,在维基的大数字条里,就给出了一个表格,将我们小时候的梦想扯到了比宇宙还远的地方:

这种构造法本质是基于10为底的科学计数法;用过常用对数坐标轴的同学应该都对这列数字不陌生。
但这么一来,很自然会有更蛋疼的人去构造更大更牛叉的数了:
其中最著名的这类大数,也许是古戈尔(googol),就是1后面跟着100个零——听起来不大?试想,我们的可见宇宙半径也就只1后面跟20多个零左右千米……【此处有改动,感谢@Dr.Shubert@中二病患者没得治 给原文抓虫】…此外,googol 还是Google 命名的起源。
在维基字条下,还提到有更蛋疼的人发明了叫古戈尔普雷克斯(googolplex)的东东,具体是1后面跟着googol个零……直观想象一下,刚才的googol只是1后面跟着100个零……
略恐怖。
再往后,据我所知暂时是没哪个闲着的,构造出1后面跟着googolplex个零的大数了。(你也可以造一个试试,但要流行,还得有人用)
上面这样的构造大数方法还真是无穷无尽地大。就像某个古人比赛谁想的数字大的笑话。

A:世界上最大的数字必须是1000000。
B:胡说,1000001比你说的都要大,还最大什么!
A:哼,算你。但是我1000002比你的还要大!!


有一些大数是有数学意义的。我最早接触的大数,大概是梅森素数了。
梅森素数是具有这样特殊表达形式的素数:

如果此时是素数,就称它为梅森素数。
已知的梅森素数远比想象中要大。去年发现的最大的一个

位数达到了17425170,比googol还大得多。大家可以去维基或者OEIS (整数数列线上大全) 感受一下。
(果壳有讨论过这事:又一个梅森素数被发现了!也是目前人类已知的最大素数!

这也提醒我们,可以从自然数数列的角度,寻找有实用意义的大数。
从数列的角度构造大数,有些数列的发散速度很是吓人;甚至比梅森素数发散得要快多了。
——有如著名的费马数。(咳咳,不是费马素数哦)
费马数是指有这样形式的一类数:

当一个费马数是素数时,我们就叫它费马素数。费马当时以为所有费马数都是素数,结果后来算来算去似乎只有前五个是素数。费马数落到现代,问题是在继续算的时候,费马数似乎也只有前五个是素数。于是乎,反而「费马素数只有五个」成了一个至今悬而未解的猜想。
是素数的费马数很少,但不是素数的费马数也不多——被确定的也只有7个是合数。往后的天知道了。下面是维基那儿贴过来的第12个费马数:
32,317,006,071,311,007,300,714,876,688,669,951,960,444,102,669,715,484,032,130,345,427,524,655,
138,867,890,893,197,201,411,522,913,463,688,717,960,921,898,019,494,119,559,150,490,921,095,088,
152,386,448,283,120,630,877,367,300,996,091,750,197,750,389,652,106,796,057,638,384,067,568,276,
792,218,642,619,756,161,838,094,338,476,170,470,581,645,852,036,305,042,887,575,891,541,065,808,
607,552,399,123,930,385,521,914,333,389,668,342,420,684,974,786,564,569,494,856,176,035,326,322,
058,077,805,659,331,026,192,708,460,314,150,258,592,864,177,116,725,943,603,718,461,857,357,598,
351,152,301,645,904,403,697,613,233,287,231,227,125,684,710,820,209,725,157,101,726,931,323,469,
678,542,580,656,697,935,045,997,268,352,998,638,215,525,166,389,437,335,543,602,135,433,229,604,
645,318,478,604,952,148,193,555,853,611,059,596,230,657
看起来,位数似乎不如已发现的最大梅森素数多,但是注意到它只不过是数列的第12项——发散速度可要快多了。顺便,贴出它的OEIS

类似这般的、发散速度让人吓破胆的自然数数列还有不少。

Matrix67的趣味书《思考的乐趣》和他的博客中,提到了一个叫古德斯坦(Goodstein)数列的东东。很是凑巧,在果壳里也有人讨论过它:
从字符串到Goodstein定理
构造该数列的过程比较繁复,在此不便多提。该说的是,古德斯坦数列不是单个的数列,而是一系列数列;每给定一个自然数,就对应一个数列。这是其中自然数4对应的古德斯坦数列:
OEIS- 古德斯坦数列G(4)
各项值看起来并不是很大?——其实,真有Goodstein定理指明,所有古德斯坦数列的末端项都会趋于0。
因此,这里真正产生大数的是「项的数目」——即数列的长度。
在Matrix67的原书里,拿出了各个古德斯坦数列的长度,组成了一个新的数列——那个才是发散速度吓坏小孩和大人的数列——就简单描述一下书上的一小段:
由4生成的古德斯坦数列的长度(也即古德斯坦数列长度数列的第4项):

它的位数有上亿位。而往后由5生成的古德斯坦数列的长度 (也即古德斯坦数列长度数列的第5项) 的位数,已超越了这个数字——注意:不是「长度的值」超越前一项的大小,而是「长度的位数的值」超越了前一项的大小……

Reuben Goodstein 还做过更牛的事——他命名了超-n运算算子,将开头提到的「1后面加好多个0」这一大数构造法,给来了个大升级。
超-n运算的维基字条里,有个表格说明其算子的构造,思路不难理解:

简单说,它重新定义并延拓了四则运算。
超0运算:给一个1不断重复地累加n次,得到自然数n。
超1运算:也即加法——每次加的可以不是1,而是一个自然数b。
超2运算和超3运算毫无悬念地,是乘法和乘方。
往后,超4运算自然是:

可理解为多次乘方的累积,Goodstein 叫它tetration (第四级运算?)。
自然地还可以有第五级、第六级……这一层叠一层迭代结果,经形式化后,就是Goodstein 的超-n运算。
一次超n运算是为指定次的超(n-1)运算的迭代的结果。超运算的记号不少,现在通用的是高德纳记号:

这一工具可说是专为大数而设的。有了它,上面提到的古德斯坦数列的长度,就可以记下来了。

还可以有更牛叉的——甚至可说是目前最牛的大数——葛立恒数(Graham数),同一问答下@bay618 童鞋已有很好的回答。我就不掺和那些我不熟悉的东西了。


这只是冰山一角

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bay618粒子物理博士

2014-09-17 17:07

@matrix67 大神给过一个栗子
http://www.matrix67.com/blog/archives/925

也就是诸网友提到的葛立恒数,Grahamnumber

简单的说, 幂不够用了, Knuth(大家一定听说过他的中文名高德纳),发明的一种数学符号

后来Graham和Rothschild证明了一个定理, 给出了一个上界: g(64)
其中g(1)=3↑↑↑↑3, 并且g(n)=3↑↑...↑3(共g(n-1)个“↑”)

我们先不看g(64), 也不看g(1), 来个简单的

各位算不出来了吧, 我也算不出来. X 就是个写法而已,咱们大家不要太自卑.
g(64) 确是一个有意义的数字.

6 1

我平时随便一用都是好几个阿伏伽德罗常数哈哈!蓝星人吓尿了吧

5 1

i=0;
for(){
b = i++;
sysout(b)
}
电脑不死机的话 那你可以得到答案

3 0
支持者: MtKnS 王爱学 bay618

当然是超出95%人类理解能力范围的葛立恒数http://en.wikipedia.org/wiki/Graham%27s_number了,在果壳知名度这么低吗?

3 0

baishuxu中国科学技术大学少年班学院大一

2014-09-19 21:25
支持者: MtKnS oralsexer 王爱学

葛立恒数G64无误……

3 0

从一开始说起,这样表示吧:1去掉零点。话说很多人不服1=0.999999······我们充分相信相等的关键是定义后面9是无穷多的。受此启发,这样表示数,999999······(1去掉零点)这么定义我实在想不起来还能怎么表示个数能比这样的数大。

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支持者: 王爱学 逍遥药师

最大数没意思,还是最大可用的有意义的数才有意义

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托伯列南国八重路上的苦行僧

2014-09-17 17:06
支持者: jimmyfluore 王爱学

你说的是阿列夫数么?

1 0

冰火梦幻信息与计算科学学士,算法控,AI爱好者

2014-09-18 19:52
支持者: 王爱学

在GEB里证明TNT的哥德尔不完备性定理的时候构造出一些大得荒谬的数。
哥德尔配数法就是把一道题的证明过程里的每一个字符都替换成一个数字(比如UTF-8?),然后从头到尾连起来,把它当成一个数(当然是一个正整数)之类的。

1 0
支持者: 王爱学

-_-! 我知道的最大单位就是亿,平时最到最大的数据类型也就money(-922,337,203,685,477.5808 至 922,337,203,685,477.5807)和decimal( - 10^38 +1 至10^38 - 1)

1 0
支持者: 王爱学

googolplex ^ (googolplex ^ (googolplex ^ (googolplex ^ googolplex)))

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有物理意义的最大数就是庞加莱回归时间那个数值吧:10^10^10^10^10^1.1 ,这个时间是宇宙回归到起点得时间。

2 1

为什么没有人提无穷大呢?
第一级无穷大:有理数的数量
第二级无穷大,直线上点的数量(其实就是无理数的数量)
第三级无穷大,平面上曲线的样式的数量。
第四级无穷大还没有找到 ……
然后有专门的符号表示:其标记符号为 ℵ (阿列夫(aleph),是希伯来文字母表的第一个字母)加角标表示可数集(包括自然数)的势标记为ℵ₀ ,下一个较大的势为ℵ₁ ,再下一个是,以此类推。

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昵称弱爆了西方政治学学士,有兴趣无所不学海绵宝宝

2014-09-19 23:07
支持者: 王爱学

我觉得牛逼的是佛教里面的 满恒河沙数三千大千世界

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支持者: 王爱学

如果是基本的不含运算符号的数,那摩尔(mol)能算不?

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支持者: 锋雨 王爱学

佛教里的够大了,一・十・百・千・万・億・兆・京・垓・ 秭・譲・講・澗・正・載・極・恒河沙・阿僧祇・那由他・不可思議・無量大数。
(科普一下在现代日本是常用词语就像我们的亿一样,只要记住在现代的日本万万之后都是万进位,万万位亿,万亿为兆,万兆为京。如果按照亿亿为兆,兆兆为京那就挺大了。)

补充佛教最大的数字排行榜[1]
数 名称
10^5洛叉らくしゃ
10^7倶胝くてい
10^14阿多あゆた
10^28那由他なゆた
10^56頻波羅びんばら
10^112矜羯羅こんがら
10^224阿伽羅あから
10^448最勝さいしょう
10^896摩婆羅まばら
10^1792阿婆羅あばら
10^3584多婆羅たばら
10^7168界分かいぶん
10^14336普摩ふま
10^28672禰摩ねま
10^57344阿婆鈐あばけん
10^114688弥伽婆みかば
10^229376毘伽びらか
10^458752毘伽婆びかば
10^917504僧羯邏摩そうがらま
10^1835008毘薩羅びさら
10^3670016毘贍婆びせんば
10^7340032毘盛伽びじょうが
10^14680064毘素陀びすだ
10^29360128毘婆訶びばか
10^58720256毘薄底びばてい
10^117440512毘 擔びきゃたん
10^234881024称量しょうりょう
10^469762048一持いちじ
10^939524096異路いろ
10^1879048192顛倒てんどう
10^3758096384三末耶さんまや
10^7516192768毘睹羅びとら
10^15032385536奚婆羅けいばら
10^30064771072伺察しさつ
10^60129542144周広しゅうこう
10^120259084288高出こうしゅつ
10^240518168576最妙さいみょう
10^481036337152泥羅婆ないらば
10^962072674304訶理婆かりば
10^1924145348608一動いちどう
10^3848290697216訶理蒲かりぼ
10^7696581394432訶理三かりさん
10^15393162788864奚魯伽けいろか
10^30786325577728達歩陀たつらほだ
10^61572651155456訶魯那かろな
10^123145302310912摩魯陀まろだ
10^246290604621824懺慕陀ざんぼだ
10^492581209243648陀えいらだ
10^985162418487296摩魯摩まろま
10^1970324836974592調伏ちょうぶく
10^3940649673949184離慢りきょうまん
10^7881299347898368不動ふどう
10^15762598695796736極量ごくりょう
10^31525197391593472阿麼怛羅あまたら
10^63050394783186944勃麼怛羅ぼまたら
10^126100789566373888伽麼怛羅がまたら
10^252201579132747776那麼怛羅なまたら
10^504403158265495552奚麼怛羅けいまたら
10^1008806316530991104麼怛羅べいまたら
10^2017612633061982208鉢羅麼怛羅はらまたら
10^4035225266123964416尸婆麼怛羅しばまたら
10^8070450532247928832翳羅えいら
10^16140901064495857664薜羅べいら
10^32281802128991715328諦羅たいら
10^64563604257983430656偈羅げら
10^129127208515966861312歩羅そほら
10^258254417031933722624泥羅ないら
10^516508834063867445248計羅けいら
10^1033017668127734890496細羅さいら
10^2066035336255469780992睥羅へいら
10^4132070672510939561984謎羅めいら
10^8264141345021879123968娑荼しゃらだ
10^16528282690043758247936謎魯陀めいろだ
10^33056565380087516495872契魯陀けいろだ
10^66113130760175032991744摩睹羅まとら
10^132226261520350065983488娑母羅しゃもら
10^264452523040700131966976阿野娑あやしゃ
10^528905046081400263933952迦麼羅かまら
10^1057810092162800527867904摩伽婆まかば
10^21156201843256010^55735808阿怛羅あたら
10^4231240368651202111471616醯魯耶けいろや
10^8462480737302404222943232薜魯婆べいろば
10^16924961474604808445886464羯羅波からは
10^33849922949209616891772928訶婆婆かばば
10^67699845898419233783545856毘婆羅びばら
10^135399691796838467567091712那婆羅なばら
10^270799383593676935134183424摩羅まらら
10^541598767187353870268366848娑婆羅しゃばら
10^10^83197534374707740536733696迷普めいらふ
10^2166395068749415481073467392者麼羅しゃまら
10^4332790137498830962146934784駄麼羅だまら
10^8665580274997661924293869568鉢麼陀はらまだ
10^17331160549995323848587739136毘迦摩びかま
10^34662321099990647697175478272烏波跋多うはばた
10^69324642199981295394350956544演説えんぜつ
10^138649284399962590788701913088無尽むじん
10^277298568799925181577403826176出生しゅっしょう
10^554597137599850363154807652352無我むが
10^110^9194275199700726309615304704阿畔多あばんた
10^2218388550399401452619230609408青蓮華しょうれんげ
10^4436777100798802905238461218816鉢頭摩はどま
10^8873554201597605810476922437632僧祇そうぎ
10^17747108403195211620953844875264趣しゅ
10^35494216806390423241907689750528至し
10^709884336127808464838153795010^56阿僧祇あそうぎ
10^141976867225561692967630759002112阿僧祇転あそうぎてん
10^283953734451123385935261518004224無量むりょう
10^567907468902246771870523036008448無量転むりょうてん
10^1135814937804493543741046072016896無辺むへん
10^2271629875608987087482092144033792無辺転むへんてん
10^4543259751217974174964184288067584無等むとう
10^9086519502435948349928368576135168無等転むとうてん
10^18173039004871896699856737152270336不可数ふかすう
10^36346078009743793399713474304540672不可数転ふかすうてん
10^72692156019487586799426948609081344不可称ふかしょう
10^145384312038975173598853897218162688不可称転ふかしょうてん
10^290768624077950347197707794436325376不可思ふかし
10^581537248155900694395415588872650752不可思転ふかしてん
10^1163074496311801388790831177745301504不可量ふかりょう
10^2326148992623602777581662355490603008不可量転ふかりょうてん
10^4652297985247205555163324710981206016不可説ふかせつ
10^9304595970494411110326649421962412032不可説転ふかせつてん
10^18609191940988822220653298843924824064不可説不可説ふかせつふかせつ
10^37218383881977644441306597687849648128不可説不可説転


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支持者: 王爱学

其实比Googolplex更大的还有Googolduplex[1](又称Googolplexian[1]、Googolplexplex[1]googolplusplex[1]、Gargoogolplex[1])也就是1后面加上Googolplex个0[1][2],然后还有Googolplexplex,Googolplexplexplex...
来源:[1]http://googology.wikia.com/wiki/Googolduplexhttp://googology.wikia.com/wiki/Googolduplex
[2]http://en.wiktionary.org/wiki/googolplexplex

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支持者: 王爱学

无 量 = 10^(2.8×10^32)
无量转 = 10^(5.6×10^32)
无 边 = 10^(1.1×10^33)
无边转 = 10^(2.3×10^33)
无 等 = 10^(4.5×10^33)
无等转 = 10^(9.0×10^33)
不可数 = 10^(1.8×10^34)
不可数转= 10^(3.6×10^34)
不可称 = 10^(7.2×10^34)
不可称转= 10^(1.4×10^35)
不可思转= 10^(5.8×10^35)「不可议」
不可量 = 10^(1.1×10^36)
不可量转= 10^(2.2×10^36)
不可说 = 10 的[ 46522979840000...(一共接 36个 0 )] 次方。
不可说转 = 10^(9.3×10^36)
不可说不可说转 = 10^(3.721838387×10^37)


哈哈,仅供娱乐

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高三考过28分数学的人就不用来凑热闹了,默默路过吧

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为何会有最大的数?理论上数不应该是不断的变大吗?

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小时候同学很肯定的告诉我世界上最大的数字是 一粒豆子
尼玛现在觉得貌似有些隐隐的禅意啊歪楼

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我有非常认真地看 然后现在觉得脑袋好疼。。
这种东西得多看几遍吧。

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支持者: 王爱学

答案 ~不应该是“1”么!?

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