为什么两个有理数间必有一个无理数,而两个无理数之间(可以/必然?)没有有理数?怎么证明?

希望不要太多符号,那种表达书上太多了。我想知道思路、想法。

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4个答案
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方弦科学松鼠会成员,信息学硕士生

2014-11-16 15:10

两个不同的有理数之间必然有无数个无理数,两个不同的无理数之间也必然有无数个有理数啊……

两者分别来自无理数和有理数各自在实数轴上的稠密性。简单来说,任意取两个不同的实数,他们的小数表达总会从某个地方开始有分歧,于是从这个地方开始,如果添加上有限位小数的话就是有理数,如果添加上无限位不循环小数的话就是无理数。

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支持者: 天然呆皮卡丘

根据对角线证明法可以证得有理数集合的大小小于无理数集合的大小,虽然都是包含无限个元素,但是无限也有等级。有理数集合的大小是阿列夫0 无理数是阿列夫1

所以如果任意两个无理数之间都存在有理数 那么就可以构成有理数和无理数之间的一一对应关系,也就是说无理数集和有理数集大小相等 得出矛盾

而任意两个有理数之间的无理数可以简单的构造出来。如果两有理数a,b(假如a<b)之间的距离是r,那么

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最好还是拿原题来。我猜是做和两个数有关的“两个数之间的数”的表达式,然后证明它必定是无理数或者可以不是有理数

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两个无理数之间也必然有无数个有理数。通过构造证明。书上写的比较准确,可参考。

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