积分中dx的意义是什么?

老师,有个地方一直不明白。求积分的时候不是一直有一个dx在表达式里面么,那个dx的真正含义是什么,虽说是为了说明对x求积分,但又不仅仅是一个符号那么简单,运算的时候dx又可以进行各种变幻.......dx真正含义是什么,为什么数学家们当初在定义积分的时候会有一个dx出现?

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2个答案
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假设你有微积分,函数,极限的基础知识,我就不按顺序说了。

是自变量微分

如图所示,设函数在某区间内可导。则在此区间内,当自变量从变动到,则函数的增量为。从图中可以看到:包含了两部分:红色的部分,和黑色的部分。

红色的部分很容易计算,用Δx乘P点的斜率就可以得到。P的斜率就是在P点的导数,而黑色的部分是比Δx高阶的无穷小。所以:

取红色部分(的线性主部)记为,即的微分。记,即自变量的微分。得到:

换言之:

即,函数的导数等于函数的微分与自变量微分的商,所以导数也叫微商

上面的这个式子并非只有形式上的意义,在实际应用中非常有用。

比如:利用,就可以用来计算比较麻烦的导数。

例如:反正弦函数的导数直接求比较麻烦。但是我们知道它的反函数是正弦函数,而正弦函数的导数是余弦函数。即:

所以:

先厘清导数和微分的区别和关系后。我们看积分是怎么计算的。微积分教材上都是用曲线面积来介绍积分。

如图所示,设函数在某区间[a,b]内可积。如何求曲线,直线,以及横轴围成的曲边矩形的面积?

用矩形法求极限得到:

这个式子用积分写出来就是:

积分符号实际上就是英文单词 sum 的首字母s的拉长。将两个式子对比可以看出:被积表达式是函数与自变量微分的乘积,这里的并非仅仅表明自变量,而是有着几何意义的(小矩形的边长)。

换个角度,从积分的定义来说。一个函数的积分,就是找到一个函数,其导数为。即:

从之前得到导数与微分的关系,我们可以得到:

即:

那么很显然,对上式求逆运算,得到积分式的话就是:


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支持者: 立交桥连接器

做个简化回答:

dx实际上是delta X的简写,表示X的微增量。所谓微积分,就是研究 函数和变量 在遇到微增量时的性质。由这些微增量的性质,产生一堆巴拉巴拉的积分公式、微分公式。

如果在 高等数学 一开始就没有搞懂,也就不要尝试去搞懂,使劲把所有的概念和公式背下来就是了。以后学多了,才能往深里去搞懂,那是就是 数学分析 这门课的事了。

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