在间距1厘米的点阵里面如何画出面积2平方厘米和5平方厘米的正方形?

小野妹子学吐槽

十一区小学4年级数学题:如下图,直线连结四个顶点,即成一个1平方厘米的正方形。那么请做一个2平方厘米的正方形,和一个5平方厘米的正方形……现在岛国网上一片哀号纷纷表示做不出

这个用小学数学的思路要怎么做呢?

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27个答案
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以小学4年级的知识来解答,最好的思路是以面积来解答。1X1的面积是1平方厘米,那么一半就是二分之一,2平方厘米就相当于4个二分之一。1X2的面积是2,一半就是1,那么5平方厘米可以分解为1X4+1=5,后面加上的1就是中间包围的一个1X1的方格。

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Ent古生物学博士生,科学松鼠会成员

2015-03-17 11:04

啊,这是一道好题呀。

解法并不难,只要想明白可以斜着画就行了。面积为2的正方形,边长是根号2,所以在图中寻找能连接成根号2线段的两点就行。面积为5,同理。

那么现在附加题来了:请问在这个点阵格子上,都能画出面积为多少的正方形





在一个这样的点阵上,任意两点之间连线的长度d,一定满足 d ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2,其中x和y为整数。

而任意一条连线,一定对应两个等面积正方形;任意一个正方形,一定对应四条等长线段。所以,任意一个正方形的面积一定是d ^ 2的形式。

所以问题化归为:怎样的数可以表达为两个完全平方数之和

很可惜,这个答案并不是很优美……

一个数可以表达为两个完全平方数之和,当且仅当这个数质因数分解后所有形为4m+3的因数的指数为偶数。

换句话说,如果质因数分解后3、7、11、……等等因数,要么没有,要么有偶数个,那么它就能这么表达;否则只要有一个例外,就不能。

这么说不好理解,举几个例子:

5 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2,而5的质因数分解就是 5,5形如4m+1,所以所有4m+3因数的指数当然都是0。

180 = 6 ^ 2 + 12 ^ 2,而180的质因数分解是 2^2 * 3^2 * 5, 其中3的指数是2,偶数。

2001不可以被表达为两个完全平方数之和。为什么呢?2+0+0+1=3,所以2001当然能被3整除;但正因为加起来为3而不是9,所以2001不能被9整除。所以2001一定有一个孤零零的因数3,所以不满足要求。


这个结论是从费马平方和定理延伸来的——费马证明了,一个质数可以表达为两个完全平方数之和,当且仅当这个质数的形式是4m+1 (换句话说,不是4m+3——质数嘛,除了2这个特例外是不可能表示为4m+2 和4m+4的)

完整的证明比较复杂,见这里:

http://modular.math.washington.edu/edu/124/lectures/lecture21/lecture21/node2.html

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不要想开方,勾股定理之类复杂的,要考虑小学的知识,长方形、三角形面积公式大概4年级就应该已经熟练掌握了吧,画个大正方形,在去掉四个三角形很简单啊

借用@狂欢的孤单的图说明,小学解题方法,

左侧蓝线框出的正方形较小的面积:2x2=4(忽略单位),

四个红线与蓝线组成三角形面积总和:4x(1x1x1/2)=2.

中间红线的正方形面积:4-2=2

右侧的的红正方形面积算法类似。完全不需要平方、开方、勾股定理,如果有人硬要说有三角形全等的知识,我也无言以对。的确要证明组成正方形的四条红线一样长,需要这个知识,但这几条线一看就是一样长的,估计没有几个小学生会认死理非要证明他们一样长。

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介绍中国数学史的时候某不得不谈的问题。

而且,这“无字证明法”应该是通俗易懂的。

所以果然让小学生开脑洞“原来正方形可以斜着画”,还有“面积可以分割开来算”才是最重要的吧!


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其实很多问题很简单

只是我们所学渐多而变得复杂化了

我觉得这个题目只要学过图形

再把图形分解就可以做出来了

麻烦一点的是那个5平方厘米的正方形

但是思路是一样的.........

1X1的面积是1平方厘米,那么一半就是二分之一,2平方厘米就相当于4个二分之一。

1X2的长方形面积是2,对角线划一半就是1,那么5平方厘米可以分解为1X4+1=5,后面加上的1就是中间包围的一个1X1的方格。

建议凡是解不出5平方厘米的都拉去玩七巧板,强化训练半天就可以了.........


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支持者: X轴正向速度

让画面积是3平方厘米的才奇葩

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支持者: 人兽保险

小学的话,说根号平方比较跳脱吧...

还是图形分解吧,比如面积为二的正方形由四个直角边长为一的等边直角三角形组成,而面积为五的正方形由四个面积为一,直角边长为一和二的直角三角形加上一个面积为一的正方形组成...

好处是文具尺子一般包括以上两种三角形,向小盆友解析起来方便又明了...

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蓑雨吟想当圣母的键盘侠

2015-03-18 09:07
支持者: 人兽保险

为什么歪楼的支持那么多= =

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把面积为1平米的正方形分解成4个小三角形,算的每个小三角形的面积为0.25平米,2平米的正方形就要8个小三角形,接下来就想想如何将这8个小三角形拼成一个正方形了。这个没有涉及到复杂的公式,小学生应该能够想到吧。5平米怎么破????

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这个题等初中学了勾股定理后就很容易,对小学生来说画面积是2的还能解释,画面积5的就有点凶残了~~~

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这个题目初中学了勾股定理做的话比较合适,小学生嘛,就让他们拼拼凑凑慢慢的搞出来就可以了,不要讲究什么方法和过程,这种探索过程也是很有益的

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第一想法算出根号2和根号5,在用勾股画

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这有什么难的,,,


面积2厘米的,,每条边肯定是 根号2,,,,,凑根号2就行了,,勾股定理

同理面积5的,,每条边肯定根号5,,勾股定理,此正方形的每个边肯定是一个底1高2三角形的最长边


不过小学貌似,,,,还没学?那画图凑面积吧

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Siriudie注册会计师

2015-03-19 14:11

但是还要证明斜着的是正方形而不是平行四边形

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不要加來加去的,都用股沟定理解决啊,1X1的正方形的对角线长度是根号2,所以1X1的正方形的对角线围成的正方形面积就是2;同样边长1和边长2组成的直角三角形的第三边就是根号5,所以根号5围成的正方形的面积就是5.基本的东西啊。

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这个是道典型的小学奥数题啊!十多年前参加过小学生数学报竞赛的滚来回答。

这种“格点上画方块求面积” 的题小学竞赛时的公式是 角上格点数除以4 加上边上格点数除以2 加上内部格点数除以1.

由于面积要求是5,并且是正方形,所以 边上格点数已经确定有面积1, 还剩下4个格点。

因为正方形有C4对称性(好吧这是现在的话,不记得小学怎么说的了。。。),所以或者每边0个,内部4个,或者每边1个,内部2个, 或者每边2个,内部0个。

但是同样由于C4, 内部不可能两个,只能4个或0个(其实还可能是4m+1个。。。)。

但0个的情况怎么想也觉得不靠谱,于是就只有内部4个每边0个。

于是画画就出来了。。。

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一个个在秀智商,还说多么简单,也不看看这是几年级的题,你自己又在什么阶段?

这题对小学生确实有点难度,在中国4年级的小学生能做出来的肯定也是少数。

那些讽刺岛国的,也是智商有限只能跟4年级小学生比优越了。

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勾三股四玄五,是华丽的计算,是科学的方法。

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以我大学毕业生的省份来说这道题很简单,都不用费脑筋,但试想,小学四年级能做出这样的题还是挺困难的

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我想的时候很简单,就是开方,边长一个根号2一个根号5,再是勾股,就解决了

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如果是小学题目,的确有点凶残

楼上的说写着画,请问小学生怎么知道开平方、斜边的长度如何计算?

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勾股定理。。。

我不会告诉你勾股定理就是“锥刺股”。。。

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