如何测量丁丁的硬度？

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章鱼喵.时见疏星理论物理专业，西夏文爱好者

2015-04-10 16:06

支持者：天降排骨驾轻就熟_30582 抢救无效朱峰V_V 樱桃纳米粉更多

（18岁以下请自行关掉页面；内含丁丁示意图，请酌情观看；由于问题的特殊性，先捂脸表示害羞<-你滚；）

这算是物理系的经典话题了。大家大一大二会做杨氏模量的实验，然后大家就很快联想到了杨氏模量非常重要的应用——“喂，你丁丁杨氏模量多少？”

软塌塌的肯定不行的，因为可以弯折。这里假设抗弯折能力才是重要的。所以我们要考虑的这个硬度并不是真的材料上的硬度。

所以大家追求的是抗弯折能力——而对于丁丁这种情况，简单的来看，这里面有个很关键的量，就是杨氏模量的（而不是剪切模量），因为丁丁弯曲是拉伸外侧压缩内侧。

杨氏模量是这样的，我们定义 $L_{e0}$ 和 $L_{es}$ 分别为完全勃起之后的默认长度和施加了力 F 拉伸之后的长度，杨氏模量就定义成

$Y = \frac{F/A}{L_{e1}-L_{e0}}$

A 是丁丁横截面。

有个装置示意图，为了保护大家，示意图放在文章最后。

也就是说杨氏模量越大，相同的力道下面，丁丁变形就越小，这正好是我们想要的嘛？不过抗弯曲能力可不仅仅是杨氏模量大就够了。抗弯曲能力是要看在相同的力道下，丁丁弯曲的大小，太容易弯曲了可不好。所以我们现在不是看压强了，而是要看力。所以说，如果杨氏模量很大，但是丁丁好纤细，那么其实稍微加点力可能就弯了，那对（pao）象（you）就没感觉了！所以除了杨氏模量大，还要够粗好吧！

我们换个更加友好的描述吧。如果杨氏模量小，可以用粗来弥补，如果细了，可以用大的杨氏模量来弥补。

如果整个丁丁的杨氏模量大了会有问题。请参考这篇文章。

上面好啰嗦，这个问题的话，可以直接测量抗弯折能力啊，物理系的同学们都做过实验的，把一个铁条搭在架子上，两端支撑，中间加上砝码。我们现在不是关心材料属性，所以我们无需做任何计算，只需要告诉别人，嘿嘿嘿，我加了两千克砝码产生的形变只有 1cm 。<-什么鬼……那是钢筋么……

>>>>>Edit:2015-04-10 未完待续<<<<<<<

下面我们问这样一个问题：如果不去硬测量，小丁丁的杨氏模量（不正规的“硬度”）如何获得呢？

丁丁是个结构复杂的家伙，我们再插入一张图，不过因为是截面图，所以倒也无所谓。

来自 [wikicommons](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Penis_cross_section.svg )，CC BY-SA

当然作为一个做理论的，我们第一步是看看（真空中球形鸡这样的）简单模型。所以我们就忽略乱七八糟的结构，认为丁丁是一根充满液体的圆柱体。这显然是不精确的，因为海绵体内部的那些结构会提供很好的支撑（抗弯能力），而这个模型所有的抗弯曲能力都在壁上。我们来看看吧。

因为这个模型统一了下垂状态和站起来的状态，所以优势就是我们只需要一个统一的表达式来写出所有状态的压强，

$\sigma = \frac{F}{\pi (R^2 - r^2)}$

F 是轴向的力，R 是模型里面的外径，r 是内径。另外我们通过杨氏模量的公式知道，

$\sigma = Y \cdot\Delta L$

Y 是杨氏模量， $\Delta L$ 是在受到上面公式的力 F 的时候长度变化。例如 $\Delta L = L_{e}-L_f$ 也就是勃起长度和下垂长度。

F 是什么？ $F = P \pi r^2$ ，P 是丁丁内部液体的压强。这样我们可以解出 L_e

$Y=\frac{P r^2}{(L_e/L_f -1) (R^2 - r^2) }$

这样我们就模型化了小丁丁。然而这个模型虽然跟部分数据能够吻合起来[^1]，但是却没有提供很好的 insight。我们只知道内部体液/血液？压强越大越好，这是显而易见的，顶多我们知道这是个正比关系，也就是说，压强还挺关键的。

知道了这样一个模型，我们对勃起有了一点概念。更进一步，[^2] 中有一个扩展的而且看起来更加切合实际的模型：

丁丁是由 N 条弹性棒棒随机连接在一个圆通内壁上。这是一个更好的海绵体模型。对比这个模型和实验数据发现，海绵体的杨氏模量要远远小于白膜的杨氏模量，也就是说，其实丁丁膨大的时候，海绵体起了很关键的作用。而第一个模型中并没有把海绵体的贡献放进来，而仅仅是一个白膜模型。

我们可以想象一下，当丁丁勃起的时候，刚开始，张力是由海绵体提供的，但是如果仅仅海绵体提供，最多也就是 0.01MPa 这样的量级，是软绵绵的。但是丁丁会继续膨胀，直到白膜开始提供张力，这时候的丁丁的模量可以达到很大， MPa 量级。

通过这两个简单的模型，我们多多少少可以感觉到，丁丁的拉伸性能确实是很关键的部分，对于双方的感受都很关键。

如果要问一个数字的话，只能说这个数字跟具体的情况有关。正常情况下，白膜压力达到了 30-40kPa 这样的量级，我们取一个大的值，使用[^4]中的数据，得知这时候大约是 2MPa 量级。也就是说远低于橡胶的 100 -1000MPa 。

而在 [^5] 中，白膜的模量达到了 12 MPa。依然远小于橡胶的。

严格的说，如果有一个好的模型，我们是可以根据丁丁正常体积和完全勃起体积比值来计算出模量的，但是并没有发现一个简洁明了的模型。

第二个海绵体模型细节，对题目没有帮助所以放在这里：

这些弹性棒棒遵从胡克定律，其中 n 条杨氏模量是 Y，另外 N-n 条是 b Y，经过简（fu）单（za）的处理，最后结果可以得出

$X = \frac{ -\ln ( ( (1+ \frac{4}{\pi^2 Y } (\frac{n}{N} (1-1/b) +1/b )\Delta P )^3 -\alpha )/(1-\alpha) )}{ \Delta P }$

X 是什么？这是一个参数，表明充血/体液的过程中体积变化的参数。体积变化是一个逐渐变缓的过程，遵从这样的规律：

$\frac{V}{V_f} = 1-\alpha + (1-\alpha)e^{-\Delta P X}$

经过做实验，我们可以得到一些数据，根据数据可以解除杨氏模量 Y。

[^1]: J Chen, A Gefen, A Greenstein, H Matzkin and D Elad. Predicting penile size during erection. International Journal of Impotence Research (2000) 12, 328.

[^2]: Beer, F. P. & Johnson, E. R. 1992 Mechanics of materials, vol. 635, pp. 78–79, 2nd edn. New York, NY: McGraw-Hill Publishers.

[^3]: Gefen A, Chen J, Elad D. Stresses in the normal and diabetic human penis following implantation of an inflatable prosthesis. Med Biol Eng Comput. 1999 Sep;37(5):625-31.

[^4]: Kelly DA. Expansion of the tunica albuginea during penile inflation in the nine-banded armadillo (Dasypus novemcinctus). The Journal of Experimental Biology 202, 253–265 (1999)

[^5]: Daniel Udelson. Biomechanics of male erectile function. J R Soc Interface. 2007 Dec 22; 4(17): 1031–1048.

杨氏模量测量示意图来了：

（来源：J Chen, A Gefen, A Greenstein, H Matzkin and D Elad. Predicting penile size during erection. International Journal of Impotence Research (2000) 12, 328. ）

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