一个三面墙都是镜子的三角形房间里点光源射出的激光是不是一定能在若干次反射后回到出发点?

长方形的房间是不一定的,模型简化后斜率取无理数就回不到出发点,但是可以无限接近出发点(无理数可以被有理数无限逼近)。猜测换成三角形也不一定,但是会无限接近。问题是,怎么证明呢?

PS:三角形可以是任意三角形。

PPS:有天中午吃饭,饭馆前后相对两整面墙都是镜子,发现不管什么角度看视线最终都会被我的头挡住,于是脑洞大开,想到了这样的问题。

PPPS:如果光源有了大小,应该就是一定的了。

PPPPS:有图。

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2个答案
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方弦科学松鼠会成员,信息学硕士生

2015-05-11 01:48

不一定,可以找到这样的光线,使得无限次反射后仍然不会碰到出发点。

我懒得画图,用文字描述希望能懂。

首先,考虑正三角形的房间。只要在其中找到这样的无限反射的光路就可以了。

怎么找呢?

考虑由正三角形镶嵌成的平面,其中的一条直线可以看成一道光线,而只要将这道光线经过的正三角形沿着边沿全部翻折到同一个正三角形中,得到的就是这道光线在这个正三角形房间内的光路。

考虑一条通过正三角形顶点的直线,它如果没有碰到平面镶嵌中的另一个顶点,那么对应的光路也不会回到这个顶点。而这样的直线显然是存在的,因为通过顶点的直线有不可数条,而平面镶嵌中的顶点只有可数个。

于是,无限次反射仍然不会回到出发点的光路是存在的。

但对于所有光线来说,它们要么会回到出发点,要么会无数次回到离出发点要多近有多近的地方。这是因为虽然顶点只有可数个,但是它们导出的直线在所有直线的集合中是稠密的。

起始点不是正三角形的顶点的情况也类似。房间不是正三角形的情况也类似。

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一个锐角三角形,假设是等腰的,而且顶角非常小,入射光射向其中一个腰,入射角度满足一定条件后光会只在两腰之间相互反射而不向出发点反射

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