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《钢铁神兵》里的较量的数学题,都是什么级别的难题?

最近看到马亲王的博客提到,车田正美的《钢铁神兵》里面有这样一段:七魔将之一的鲍伊把主角团关进超次元魔方,不成想其中有一人是曾经的学霸同学北斗。于是两人开始了一场数学题较量。两人一边抛出看起来特别厉害的数学题,一边秒回答。那么,这些题目到底是什么水平呢?

第一题是这个虫食算的题目,乍看起来挺厉害,仔细想想却非常纸老虎。

如果不用图表示的话,就应该是这样:7乘以一个一位数A,再乘以一个17位数B,等于777777777777777777(18个7)。换言之,要找一个一位数A和一个17位数B,让它们的乘积等于111111111111111111(18个1)。

很显然,“18个1”是3和9的倍数。不仅如此,它还是7的倍数。所以说,除了明显不对的偶数和5以外,其实剩下的3,7,9都是A的解。至于剩下的B,做个除法就算出来了。形式简单限制又少的谜题,出现了多解,实际上是相当大的硬伤。

第二题到第四题,是一组类似于二十四点的问题。

第二题要求用2-9各一次,“不许用加减只许用乘除”构成1,10,100,1000,之后北斗就评价说这是小町算的应用篇。小町算是日本的经典谜题,要求用123456789,不许变顺序,在其中加上加号或减号构成100,例如1+2+3-4+5+6+78+9=100 或是 123-45-67+89=100。回来看北斗的解答么,虽然没有用加减,但是乘方,阶乘,甚至平方根(平方根可以视为省略了一个2)都出来了。

第三题的解答更是飞起,即使累加的\sigma可以视为算符,使用k也有点太过分了——实际上我大可以给出类似于“定义f(x)=999,则f(9)=?”这样的解答。

唯独第四题的解答算是颇有美感,并且也算是数学科普界三大问题之一的变形了。可惜,打印的时候把小数点以后“9”上面那个代表无限循环小数的点给打漏了。

第五题开始,算是和高等数学沾点边了。当然,最大的素数是不存在的,但这不妨碍人类用计算器寻找越来越大的素数。近年来,人们基本是在梅森数(即2N-1形式的数)里面找素数。鲍伊给出的23021377-1是1998年1月27日被证明为素数的,在“人类已知最大素数”的宝座上坐了一年半的时间。目前,这个纪录已经被2017 年12 月26 日发现的277232917-1刷新了(详见果壳网对此的报道)。考虑到这部漫画的连载时间,这个答案很可能是连载时的新闻。

第六题,正如马亲王所说,是考定义的题,但是…… 很不幸,是错的。

基数(翻译似乎写错成“记数”了)是康托尔在19世纪末提出集合论时才引入的概念,以现代数学来说大致会在本科阶段学到。基数,简言之,就是集合中的元素个数。如果两个集合中的元素存在一一对应,则它们的基数相同。数学上可以证明,对任何集合,都可以用“幂集”(即所有子集的集合)的手段,构造出基数更大的集合——因此,所谓最大的基数,并不存在。

实际上,北斗给出的答案——“超限基数\aleph_n אn”,并不是一个基数,而是一类基数的总称。自然数集的基数定义为\aleph_0,实数集的基数比自然数集的基数要大,其基数是\aleph_1。n越大,这个基数就会越来越大。

第七题算是这批题目里面水平比较高的题了。虽说题目本身的算符有无数种可能性,而最后的答案用到了求和符号,但是最后的答案可以简化成a∆b=(a+b)*(b-a+1)/2的二次多项式形式,相当简单,并且可以用待定系数法求出解。

第八题,切拼问题一直是数学谜题里面比较难的一类。但是这类题目是看起来越直接的题目越难。就这道题而言,原始图形的外围全是复杂的曲线反而可以帮助解题:因为最后需要变成一个正方形,因此——假设真的有解的话——最初的外部曲线必然会被拼到内部,并且和另一块的曲线部分拼在一起。换言之,计算初始的外部曲线的曲率,就可以算出哪部分曲线应当和哪部分重合。话说回来,如果不给纸笔只能空想的话,难度要高一个层次。顺便一提,和它正经的解相比,我更喜欢北斗给出的脑筋急转弯解法。

数学上研究过的更接近的切拼问题,是塔斯基的切圆拼方问题,问能否把一个圆分成有限份,然后拼成一个正方形。这个问题要到1990年才给出解答,切成1050份,并且还是所谓的不可测集(详见果壳网的相关文章)。

数学中还有一个更著名的巴纳赫塔斯基分球定理,说一个球可以切成5份然后拼成两个球,不过这只在三维或更高维适用,对平面圆来说并不适用。

第九题,用一个骰子公平地八选一。这个题目相当有趣,答案也是意料之外情理之中,但是漫画中的解释,三个里面错了两个。

先说正常解。答案是3次没错,但理由并不是取6和8的公倍数24再除以8,而是63能被8整除。掷三次之后会得到216种等可能的不同事件,将其中27个构成一组,再分成8组,则落到其中任何一组的概率都是27/216,即1/8。

倘若是公平地五选一,那就无论如何不可能在有限次里面保证公平选出了:最好的策略是掷出6的时候重投,但是极端情况下可能会无限掷出6。

再说鲍伊的第二个答案——“投一次”。虽然鲍伊列出了所有24种可能性然后又什么乘积,不过有一个更简单的解释办法:掷骰之后考虑最大的那个侧面对着的方位。由于方位可以用一个0-360度之间的角度表明,因此只要能精确测量,想要公平地几选一都可以。

最后再说北斗的答案——“一次都不用投”。虽然答案没错,但他的解释就太神棍了。(编者注:所以就不放图了……)假设我知道桌上有一个骰子,那么在我看到这个骰子之前,我对它的方位一点都不知道。这个时候,以我所知道的信息可以认为,它的方位角的先验分布是0-360度之间的均匀分布。因此,我只要走进去观察一下骰子就可以,不需要真的去掷。

当然,如果有人对我的解释不满意,那我还可以换个解释:“不要管骰子,直接掷三次硬币或看表来决定。”

最后,北斗出了一个逻辑题,鲍伊的机器人嚷着“这是说谎者悖论”就直接炸掉了,然后恼羞成怒开始武戏。不过,这个题目虽然相当复杂,却并不是说谎者悖论。

先来看看这道题目的题面:

说谎者悖论是指类似“这句话是假话”的论断,不管它是真是假,都会引发矛盾。但是,要达成说谎者悖论,需要比较严谨的条件。以克利特人悖论,即“克利特人只说假话”为例,其实就构不成说谎者悖论,因为可以用“这句话是假话,并且克利特人在其他时候说过一些真话”来解释。

即使不考虑其他言论,只考虑题面里的这三句话,那么仍然有“三句话都是真话”这个唯一解——要注意,狮子说的并不是“山羊和龙都在说谎”。当然了,如果题目说有人在说谎的话,那就只能说明题出错了。

所以,总体上来说,这十道题目用不上什么太难的数学知识,稍微难一些的第六题和第十题还是错的。但是,如果以数学谜题的角度来考虑,那么第七、第八和第九题都比较有水平,虽然第九题的解释是胡说八道。恐怕,也就只有实诚的人民,会留下心理阴影而已。(编辑:Steed

The End

发布于2018-02-08, 本文版权属于果壳网(guokr.com),禁止转载。如有需要,请联系果壳

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antares

数学硕士,本格推理爱好者

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