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韵律中的分形艺术

声音,纷繁多变。有时被称为乐音,有时被称为噪音,其区分标准一般在于,是否能够给收听者带来身心愉悦的感受,是否具有一定的艺术性。然而这样宽泛的概念,是不是也能用数学量化的标准予以清晰地呈现呢? 来看看下面这些用图像来呈现音乐的尝试 [1]

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早已有研究表明,美妙的音乐篇章,尤其是古典音乐和交响乐中,蕴含着许多奇妙的分形艺术。首先,我们来介绍一下,白噪声、红噪声和粉红噪声,由此引出 “音乐中的分形” 这一概念。

乐音中的分形

白噪声 白噪声(white noise)是功率谱密度在整个频域内均匀分布的声音类型。就像光学中的白光,是由所有频率的可见光混合得到的一样。理想的白噪音,就是把人耳能接收到的所有频率的声音同时发出。最为我们所熟悉的白噪声,就是在收听广播时候,在有节目的频段上所听到的电波声,还有磁带空白处的声音。类似于,沙沙沙,沙沙沙。这样的声音听起来,前后基本一致,可预测性最强,随机性最弱。

红噪声 与之对应,另外一个极端的声音现象是布朗噪声(brown noise),也叫做 “红噪声”。与物理中布朗运动的概念类似,这种声音的前后音程差,是微小的、随机的、无规律的变化。可以设想,就像是第一次见到钢琴的小孩子,他用一个手指在琴键上乱弹一通。这种声音毫无规律可循,也没有美感可言,随机性最强,可预测性最弱。

(图 1)从左到右边分别为:白噪声、红噪声(布朗噪声)、粉红噪声(1/f 噪声);上排表示声波分布,下排表示在频域的分布情况。[2]

(图 1)从左到右边分别为:白噪声、红噪声(布朗噪声)、粉红噪声(1/f 噪声);上排表示声波分布,下排表示在频域的分布情况。[2]

就像世界上的诸多事物一样,美好的东西总是寻求一个平衡(balance)。那么,在可预测性和随机性之间,是不是也存在一个平衡的界限,对应着美妙的乐音呢?答案是肯定的。这就是 “1/f 噪声”(1/f noise),又称为 “粉红噪声”(pink noise)。

粉红噪声 从时间域的波形来看,粉红噪声的声波图像具有分形的结构。从频域—能量的角度分析,其能量从低频向高频不断衰减,曲线为 1/f,通常为每 8 度下降 3 分贝。最初的科学研究中,常利用 “1/f 噪声” 模拟出瀑布、刮风或是下雨,这种自然界中浑然天成的声音。对大量乐谱的分析也早已证实,多数犹如天籁之音的世界名曲,均属于粉红噪声。


节奏中的分形

上面所考虑的分形都是对于 “音高”(pitch)而言。近日,PNAS 上刊发了一篇文章,Daniel Levitin 教授率领的研究团队,对于音乐的 “节奏”(rhythm)进行了研究。他们发现,在诸多乐曲的节奏中,也蕴含着类似的分形结构 [2]

作者在论文开头写道: “音乐中有拍子,并且拍子出现的规律会有一定的重复性。我们通常无法预测下一个旋律的转折点会怎样演绎,但却能够在静静聆听的过程中,感觉到音乐的转折点何时将要到来。” 于是,可以猜测,在看似无迹可寻的韵律中,或许也有类似的分形结构。

(图 2)对贝多芬四重奏的乐段节选进行节奏分析,A 为乐谱,B 为 1/f 分布,C 为 1/f 的指数化处理,得到类似于正态分布的结果。[2]

(图 2)对贝多芬四重奏的乐段节选进行节奏分析,A 为乐谱,B 为 1/f 分布,C 为 1/f 的指数化处理,得到类似于正态分布的结果。[2]

如上面(图 2)中的乐谱,可以看到乐曲中各音符之间的间隔并无规律可循。但是,如果从频域的角度来考虑,就会得到不一样的结果。通过对进一个世纪以来的大量音乐作品进行分析,研究人员发现,音符和休止出现的频率和持续的时间(temporal / rhythmic),也遵循 “1/f 分布”(1/f distribution)。而在频域上的 “1/f 分布”,对应在时间域上即为分形曲线。

节奏中的分形结构听起来或许有些抽象,但它却可以用来区分不同的音乐流派和作曲风格。

研究人员称,他们分析了不同的音乐流派及不同作曲者的大量作品,得到各自的 “1/f 分布”,再将其做进一步的指数化处理,可以得到一个类似于正态分布,有对应的均值和方差。结果发现,不同的 “均值” 对应着不同的音乐风格。大的 “均值” 对应着较强的可预测性,而均值较小则表明乐曲节奏较为平稳。

这与直观上的听觉体验基本一致。例如,滑稽音和诙谐曲的均值,比交响乐和抒情曲要大,表明其曲风多变,无章可循,从而营造出始料未及的艺术效果。同样,贝多芬、海顿和莫扎特同为一个时期的作曲家,但他们乐谱的分形特征却各不相同;而间隔了几个世纪的作品,比如蒙特威尔第和乔普林的乐谱,则呈现出类似的节奏模式。

(图 3)上下两组图片分别表示不同作曲家和不同音乐流派所对应的 “均值”。主要看 E 这一列,纵轴代表流派,横轴代表均值大小。均值越大,音乐节奏的可预测性就越大,反之预测性就越小。可见,作曲家中,贝多芬的可预测性最强,而莫扎特则是随机性很强;在不同的音乐流派中,交响乐的可预测性最强,而拉格泰姆调(Ragtime)的随机性最强。[2]

(图 3)上下两组图片分别表示不同作曲家和不同音乐流派所对应的 “均值”。主要看 E 这一列,纵轴代表流派,横轴代表均值大小。均值越大,音乐节奏的可预测性就越大,反之预测性就越小。可见,作曲家中,贝多芬的可预测性最强,而莫扎特则是随机性很强;在不同的音乐流派中,交响乐的可预测性最强,而拉格泰姆调(Ragtime)的随机性最强。[2]

从(图 3)中可以看出,莫扎特和乔普林作品的 “均值” 都比较低,风格也就类似; 贝多芬和维瓦尔第的 “均值” 都较高,其作品节奏变化也较为接近。这一结果表明,音乐节奏的分形变化,可能是植根于人类大脑中的作曲能力的基本属性。研究人员称,不同作曲家独特的风格特征,很可能是他们各自让节奏的分形发生变化的尝试。

根据这一结果,我们可以进一步大胆设想,开发出一套自动编曲的软件,先通过 “1/f分布” 曲线创作出对应节奏,再随机填入音符,是否一定能得到曼妙的乐章呢? 不过,该路数的创作结果,一定与之前仅考虑音高上的创作出的 “分形音乐” 截然不同。至于孰优孰劣,当然要由听众来做评判。

顺便说一句,这位 Daniel Levitin 教授,不仅是一位音乐家,还是著名的脑神经科学家。他在其著作 “This is Your Brain on Music” 一书的开篇,就表明了自己对音乐和科学的热爱,并解释了自己为何要研究音乐与科学之间的联系。或许正是拥有这般对自己的兴趣,孜孜以求的钻研精神,才有可能发现隐藏在美好事物背后的那些神秘的魅力。

最后,就用一段视觉化音乐作品 [1],来结束节奏中的分形故事:


参考资料:
[1]Tatiana Plakhova, CHAOS AND STRUCTURE
[2]Daniel J. Levitin, Parag Chordia and Vinod Minon: Musical rhythm spectra from Bach to Joplin obey a 1/f power law
图片来源:Tatiana Plakhova, via behance.net
文章题图:vi.sualize.us

The End

发布于2012-03-21, 本文版权属于果壳网(guokr.com),禁止转载。如有需要,请联系果壳

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