乐音中的分形

白噪声 白噪声（white noise）是功率谱密度在整个频域内均匀分布的声音类型。就像光学中的白光，是由所有频率的可见光混合得到的一样。理想的白噪音，就是把人耳能接收到的所有频率的声音同时发出。最为我们所熟悉的白噪声，就是在收听广播时候，在有节目的频段上所听到的电波声，还有磁带空白处的声音。类似于，沙沙沙，沙沙沙。这样的声音听起来，前后基本一致，可预测性最强，随机性最弱。

红噪声 与之对应，另外一个极端的声音现象是布朗噪声（brown noise），也叫做 “红噪声”。与物理中布朗运动的概念类似，这种声音的前后音程差，是微小的、随机的、无规律的变化。可以设想，就像是第一次见到钢琴的小孩子，他用一个手指在琴键上乱弹一通。这种声音毫无规律可循，也没有美感可言，随机性最强，可预测性最弱。

就像世界上的诸多事物一样，美好的东西总是寻求一个平衡（balance）。那么，在可预测性和随机性之间，是不是也存在一个平衡的界限，对应着美妙的乐音呢？答案是肯定的。这就是 “1/f 噪声”（1/f noise），又称为 “粉红噪声”（pink noise）。

粉红噪声 从时间域的波形来看，粉红噪声的声波图像具有分形的结构。从频域—能量的角度分析，其能量从低频向高频不断衰减，曲线为 1/f，通常为每 8 度下降 3 分贝。最初的科学研究中，常利用 “1/f 噪声” 模拟出瀑布、刮风或是下雨，这种自然界中浑然天成的声音。对大量乐谱的分析也早已证实，多数犹如天籁之音的世界名曲，均属于粉红噪声。

节奏中的分形

上面所考虑的分形都是对于 “音高”（pitch）而言。近日，PNAS 上刊发了一篇文章，Daniel Levitin 教授率领的研究团队，对于音乐的 “节奏”（rhythm）进行了研究。他们发现，在诸多乐曲的节奏中，也蕴含着类似的分形结构 [2] 。

作者在论文开头写道： “音乐中有拍子，并且拍子出现的规律会有一定的重复性。我们通常无法预测下一个旋律的转折点会怎样演绎，但却能够在静静聆听的过程中，感觉到音乐的转折点何时将要到来。” 于是，可以猜测，在看似无迹可寻的韵律中，或许也有类似的分形结构。

如上面（图 2）中的乐谱，可以看到乐曲中各音符之间的间隔并无规律可循。但是，如果从频域的角度来考虑，就会得到不一样的结果。通过对进一个世纪以来的大量音乐作品进行分析，研究人员发现，音符和休止出现的频率和持续的时间（temporal / rhythmic），也遵循 “1/f 分布”（1/f distribution）。而在频域上的 “1/f 分布”，对应在时间域上即为分形曲线。

节奏中的分形结构听起来或许有些抽象，但它却可以用来区分不同的音乐流派和作曲风格。

研究人员称，他们分析了不同的音乐流派及不同作曲者的大量作品，得到各自的 “1/f 分布”，再将其做进一步的指数化处理，可以得到一个类似于正态分布，有对应的均值和方差。结果发现，不同的 “均值” 对应着不同的音乐风格。大的 “均值” 对应着较强的可预测性，而均值较小则表明乐曲节奏较为平稳。

这与直观上的听觉体验基本一致。例如，滑稽音和诙谐曲的均值，比交响乐和抒情曲要大，表明其曲风多变，无章可循，从而营造出始料未及的艺术效果。同样，贝多芬、海顿和莫扎特同为一个时期的作曲家，但他们乐谱的分形特征却各不相同；而间隔了几个世纪的作品，比如蒙特威尔第和乔普林的乐谱，则呈现出类似的节奏模式。

从（图 3）中可以看出，莫扎特和乔普林作品的 “均值” 都比较低，风格也就类似； 贝多芬和维瓦尔第的 “均值” 都较高，其作品节奏变化也较为接近。这一结果表明，音乐节奏的分形变化，可能是植根于人类大脑中的作曲能力的基本属性。研究人员称，不同作曲家独特的风格特征，很可能是他们各自让节奏的分形发生变化的尝试。

根据这一结果，我们可以进一步大胆设想，开发出一套自动编曲的软件，先通过 “1/f分布” 曲线创作出对应节奏，再随机填入音符，是否一定能得到曼妙的乐章呢？ 不过，该路数的创作结果，一定与之前仅考虑音高上的创作出的 “分形音乐” 截然不同。至于孰优孰劣，当然要由听众来做评判。

顺便说一句，这位 Daniel Levitin 教授，不仅是一位音乐家，还是著名的脑神经科学家。他在其著作 “This is Your Brain on Music” 一书的开篇，就表明了自己对音乐和科学的热爱，并解释了自己为何要研究音乐与科学之间的联系。或许正是拥有这般对自己的兴趣，孜孜以求的钻研精神，才有可能发现隐藏在美好事物背后的那些神秘的魅力。

最后，就用一段视觉化音乐作品 [1]，来结束节奏中的分形故事：

参考资料:

[1]	Tatiana Plakhova, CHAOS AND STRUCTURE

[2]	Daniel J. Levitin, Parag Chordia and Vinod Minon: Musical rhythm spectra from Bach to Joplin obey a 1/f power law

图片来源:	Tatiana Plakhova, via behance.net
文章题图:	vi.sualize.us