数学

直线的定义你伤不起

直线的定义是什么?直线是怎么定义的?直线的定义可不那么简单

physixfan 发表于  2011-03-29 21:18

不定义距离,就想不清直线

什么是直线?或者更加准确的问法是如何定义直线?不知道你有没有思考过这个问题。尽管我们实际生活中都有对直线概念的直观理解,但是细想后我们就会发现,直线好像也不这么简单。

欧几里得的《几何原本》上是这么定义直线的:“直线是它上面的点一样地平放着的线”,其中线的定义是“线只有长度而没有宽度”。显然这样的定义是极其不严格的,“一样地平放着”只是一个日常生活中的直观概念。也就是说《几何原本》相当于没有对直线给出定义,尽管直线是几何学最基本的基本概念之一。

可能很多人会认为直线被定义成“两点间最短的线”(在这里就不去区分线段和直线了),就觉得在逻辑上已经定义清楚了。但是这里还有一个问题:什么叫做短?要有短的概念就要先有距离的概念,而仅仅在几何学内考虑这个问题的话,要丈量距离就必须先有尺,而尺的形状又是直的,因此距离的概念其实是建立在直线的概念之上的。这就成了循环定义了。

所以在数学上,我们就不能单从几何的角度去定义距离了。为了定义距离,我们需要在空间的每一个无穷小的区域上建立一个笛卡尔坐标系,在每一个小的笛卡尔坐标系内可以用解析几何的方法定义出距离,然后在整个路径上对每一个小段上的距离进行叠加,从而定义出两点间连线的距离。

之所以能在无穷小区域上建立笛卡尔坐标系,是因为一条曲线在无穷小区域上,我们可以把它近似为一小段直线(就是我们直观认识的直线),这其实就是微积分的思想。至于为什么不能直接在大区域上直接建立笛卡尔坐标系来定义距离,原因很简单,坐标轴要画成直线啊,在没有直线概念的时候又哪里来的坐标轴呢...

一个简单的例子是在球面上定义最短线,如果直接建立笛卡尔坐标,其中的坐标轴就用我们直观感受的那种直线的话,那么最短线必须要经过球面之外的空间。但是在球的表面的每一个无穷小区域上建立微小笛卡尔坐标系,就可以很好的沿着球表面定义出一条最短线。

猜不透的欧几里得第五公设

至此,我们基本上可以把直线就定义成两点间距离最短的线了。但是,这样并没有定义出唯一的直线。显然在一个球面上定义出的最短线,在我们看来其实是圆弧;在马鞍面上画出的最短线,在我们看来也是弯弯曲曲的线。

那么怎么定义才能保证刚才定义出来的直线就是我们通常直观上的直线呢?其实很简单,只要再加上一个公理,即传说中的欧几里得第五公设:

同一平面内一条线段和另外两条线段相交,若在某一侧的两个内角的和小于两直角,则这两线段经充分延长后在这一侧相交。

顺带提一句,因为第五公设看起来太绕了,一点都不明显,有数学家提出了与第五公设不同的假设,这就是非欧几何。

至此,我们终于可以引入 Hilbert 大神对直线的理解了:点和直线不可定义,真正需要的是点和直线之间的关系!而点和直线之间的最基本关系,Hilbert用公理来确定:几何学就是给直线一个定义,只要给出一个直线的定义,就有一套几何学!

现实里的直线在哪里?找不着

以上都是数学上对直线定义的讨论。但是现实世界中,我们总得给出对直线的唯一一种定义,然后我才能说从宿舍到食堂到底有多远,以及天文里面一颗恒星距离我们到底有多远。那到底哪一种几何学是“真”的呢?什么是现实世界中的客观的直线呢?

通过上面的讨论我们知道了,对于直线的定义其实是随意的。但是基于一些的物理上的信仰,我们仍然对现实中直线的定义作出几条限制:

  1. 不能依赖于主观参考系
  2. 该定义对于长距离一定也要有效。

现代物理学认为自然界中只有4种相互作用力,其中只有电磁力和引力是长程作用力,于是对应着只有光子和引力子满足上述两条要求(在量子场论中,光子是传递电磁力的粒子,引力子是传递引力的粒子)。鉴于现在引力子仍然没有被观测到,因此我们只剩下了唯一一种选择:定义直线为光子走过的路径!于是相对应的,现实世界也就只有唯一的几何学了。

(引力子的性质和光子不同,如果也用引力子走过的路径定义直线,于是现实中就会有两种不同的几何学。如果将来观测到引力子,那这两种几何学必须要统一起来。由此可见理论物理学的核心问题之一——统一引力和其他三种作用力是多么重要!)

有意思的是,天文学的观测表明,光经过大质量物体时会发生偏折,也就是说我们真实的宇宙中三角形的内角和并不等于180°!于是,非欧几何不仅仅在逻辑上是存在的,它更是真实世界的几何学!到头来我们才发现,原来我们一直以为很显然的初中学的欧几里得几何学,充其量只是数学家头脑中凭空构造出来的玩具而已……

最后再补充一点,鉴于在物理上我们定义直线为光走过的路径,而在小尺度上光子因为量子效应不再具有很好的粒子性,不再具有通常意义上的轨迹,因此,在小尺度上(小到量子效应很明显),几何学根本就是不存在的!这也就是为什么量子力学中就再也没有轨迹这种几何学概念了。

至此,总算是把直线的定义给说清楚了。想不清猜不透又找不着,直线你真的伤不起啊。

 

 

本文基本观点来自北京大学数学科学学院范后宏教授“古今数学思想”课。

热门评论

  • 2011-03-30 03:57 Creative 机械电子工程、消费产品设计专业

    初中几何第一课老师讲,射线是手电筒,直线是金箍棒。

    [14] 评论
  • 2011-03-29 23:47 Metaverse 录音爱好者,万有青年养成计划入围选手

    感觉在无穷小区域使用笛卡尔坐标系还是会绕不过直线的定义,始终还是循环论证……数学跟语言一样,总有某些根基是不得不追溯到系统自身之外,不可能封闭~~像点和直线不可定义,都是实在世界在思维中的投射……希尔伯特大神V5。。。

    [3] 评论

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全部评论(127)
  • 1楼
    2011-03-29 22:17 昵称是昵称必填是必填 森林水文学博士

    看之前还停留在两点一线的水平

    [1] 评论
  • 2楼
    2011-03-29 22:40 niannianlol

    看完这篇的人都伤不起。

    [2] 评论
  • 3楼
    2011-03-29 22:43 capricornuspp

    还停留在直观感受上的路过....

    [1] 评论
  • 4楼
    2011-03-29 22:44 万俟麻木

    果然伤不起= =

    [0] 评论
  • 5楼
    2011-03-29 22:54 DerekToMars

    这个好

    [0] 评论
  • 6楼
    2011-03-29 23:02 传说中的路人甲

    有人说,两点之间,直线最短

    又有人说,直线是两点之间最短的线。

    这种来回的定义,伤不起

    [0] 评论
  • 7楼
    2011-03-29 23:15 Liarp

    这个真伤不起……

    [0] 评论
  • 8楼
    2011-03-29 23:19 拽拽的剑客

    这种牛掰的定义,也只有数学家才想得出来了。实变函数里可测函数的定义,各种等价,那种销魂没法儿言说

    [1] 评论
  • 9楼
    2011-03-29 23:34 科学女流氓 AMO物理博士生

    话说还从来没听说过物理上的直线是由光定义的。。。
    大到一般情况,如果在真空且不受外力影响,认为空间本身是一个匀质概念的话,在inertial frame里(比如rotational frame不算),任何具有初速度的质点都应该走直线的吧。。。

    小到量子力学。。当用几率描述去表达物体的位置之后,自然就会模糊所谓轨迹的概念。。。但如果你将一些量看作gaussian wave packet,还是可以将最大几率的发生点勾画出轨迹来得么。。。只是没什么物理意义罢了,毕竟根本没有可预测性。。。

    [2] 评论
  • 10楼
    2011-03-29 23:38 卓小鱼

    已经晕了…

    [0] 评论
  • 11楼
    2011-03-29 23:47 Metaverse 录音爱好者,万有青年养成计划入围选手

    感觉在无穷小区域使用笛卡尔坐标系还是会绕不过直线的定义,始终还是循环论证……数学跟语言一样,总有某些根基是不得不追溯到系统自身之外,不可能封闭~~像点和直线不可定义,都是实在世界在思维中的投射……希尔伯特大神V5。。。

    [3] 评论
  • 12楼
    2011-03-30 00:32 夜光的鱼

    话说1900年希尔伯特提的那23个问题,其中之一就是2点间线段最短是否可证明。。。 。。。
    。。。。。。。。。。。。。。。。。。

    [1] 评论
  • 13楼
    2011-03-30 00:48 Ent 古生物学博士生,科学松鼠会成员

    我看到了老范!!!星星眼*_*
    但是为什么老范当年给我们上课的时候没讲过这些呢……

    [0] 评论
  • 14楼
    2011-03-30 03:57 Creative 机械电子工程、消费产品设计专业

    初中几何第一课老师讲,射线是手电筒,直线是金箍棒。

    [14] 评论
  • 15楼
    2011-03-30 04:06 portishead
    引用 Creative 的回应:初中几何第一课老师讲,射线是手电筒,直线是金箍棒。


    这位老师够绝!敬礼。

    [0] 评论
  • 16楼
    2011-03-30 06:48 Sheldon 理论物理博士,科学松鼠会成员

    内角和的问题,需要补充一下。楼主说的现象确实没错。但对CMB做的数据分析告诉我们,宇宙空间在大尺度上是平坦的,内角和等于180度。就像海面从远处看是平的一样。

    [0] 评论
  • 17楼
    2011-03-30 08:40 碘化亚铜

    看标题猜作者……果然是你……

    [0] 评论
  • 18楼
    2011-03-30 09:28 wuyanba

    到头来我们才发现,原来我们一直以为很显然的初中学的欧几里得几何学,充其量只是数学家头脑中凭空构造出来的玩具而已……
    对这句话不认可,欧氏几何可是说是非欧几何的一个特殊形式罢了,就像圆是椭圆的一个特殊形式,不能草草的说是凭空构造出来的玩具 呵呵 较真了~

    [0] 评论
  • 19楼
    2011-03-30 09:30 破普

    还好有楼上的那句有道理的话,要不然就真的伤了。。。

    [0] 评论
  • 20楼
    2011-03-30 09:39 何时

    看到内伤.

    [0] 评论
  • 21楼
    2011-03-30 10:02 燕赵客

    "而在小尺度上光子因为量子效应不再具有很好的粒子性,不再具有通常意义上的轨迹,因此,在小尺度上(小到量子效应很明显),几何学根本就是不存在的!"
    这段话严格说是不大对的,一个简单的例子,我们平时听的无线电其中电磁波有波长米级的,如果考虑这些波在我们房间内行为(比如反射吸收折射之类),它的轨迹是显然已经不是几何光学而是波动光学范围了,那么能说我们房间内的几何学已经远非欧式几何了吗?
    量子行为的显著与否并不一定和背景几何强相关,只有到了量子引力范围(意味着小空间内的极高能量),能量的量子扰动已经强烈扰动到背景时空几何时,才好说量子行为直接干预了几何。至于时空是否是欧式几何,那甚至不用动用量子引力,广义相对论就够了,简单但未必直观的例子:看看自己站在地球上,苹果落在地上,月球绕着地球转就是了也、

    [1] 评论
  • 22楼
    2011-03-30 10:37 C.Why

    数学到底还是需要物理的职支撑啊~~

    [0] 评论
  • 23楼
    2011-03-30 10:47 司空月

    我彻底晕了……

    [0] 评论
  • 24楼
    2011-03-30 10:50 Metaverse 录音爱好者,万有青年养成计划入围选手
    引用 sheldon 的回应:内角和的问题,需要补充一下。楼主说的现象确实没错。但对CMB做的数据分析告诉我们,宇宙空间在大尺度上是平坦的,内角和等于180度。就像海面从远处看是平的一样。

    98年时的观测证据显示有负能量导致加速膨胀,大尺度上是双曲几何,现在又有新数据推翻先前的结论了?

    [0] 评论
  • 25楼
    2011-03-30 11:09 sevn

    直线伤不起..于是我被伤了...为神马世界要这么复杂~

    [0] 评论
  • 26楼
    2011-03-30 11:09 小狼小同学

    看都看不懂,还提什么伤不伤的。唉,

    [1] 评论
  • 27楼
    2011-03-30 12:06 小乐 手工达人
    引用 Creative 的回应:初中几何第一课老师讲,射线是手电筒,直线是金箍棒。


    你们老师真好,把复杂的问题简单化。不象楼主,目的是搞死我们~~

    [0] 评论
  • 28楼
    2011-03-30 17:33 派大星patrix

    被玩具耍了这么久还= =

    [0] 评论
  • 29楼
    2011-03-30 17:58

    同意这个观点~

    引用 科学女流氓 的回应:话说还从来没听说过物理上的直线是由光定义的。。。大到一般情况,如果在真空且不受外力影响,认为空间本身是一个匀质概念的话,在inertial frame里(比如rotational frame不算),任......
    [0] 评论
  • 30楼
    2011-03-30 20:51 Cielo
    引用 Ent 的回应:我看到了老范!!!星星眼*_*但是为什么老范当年给我们上课的时候没讲过这些呢……


    同看到了老范!看来得去蹭课了~

    [0] 评论

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