刊物:	《新科学家》8月14日刊
导读者:	韩晶晶
原文:	请看这里

当今数学研究的问题千奇百怪，但古老的自然数系统，以及加减乘除这些运算法则依然是数学最基础的工具。意大利数学家皮亚诺在19世纪时建立了一个看似完备的算术系统，根据几条基本公理即可以推导出其他复杂运算法则。数学家们曾经设想在此基础上建立起整个完备的数学系统。

然而，哥德尔提的不完备定理粉碎了数学家们的美梦，他证明即使是在最基础的皮亚诺算术系统中，也存在既不能证明也不能证伪的命题。这给数学带来了巨大冲击，但最初人们找到的这类命题却和真正的数学没什么关系，只有逻辑学家感兴趣。皮亚诺算术虽然从技术上说是不完备的，但是对于数学应用来说足够了。后来虽有数学家提出过实际的数字染色命题，但也可以通过对皮亚诺公理作出小小的扩展来解决。

而现在，哥德尔终于迎来了堂堂正正的胜利，俄亥俄州立大学的Harvey Friedman在他新著中用全新的形式表现了算术系统不完备性。有这样一个定理，对于函数值比自变量大的函数，总存在无限个自变量，其对应的函数值和自变量本身完全没有交集，而两者合起来则是完整的自然数集。Harvey Friedman检验了一对扩张线性增长函数的6561套自变量和函数值，发现其中绝大多数，都可以用皮亚诺公理来证明是否符合前述的定理，然而还有12个却既不能证明也不能证伪。

要解决这个问题，靠要在皮亚诺系统中引进所谓的大基数，而这个东西不能由逻辑推导而来，只能假设，从来不被主流数学界喜欢。另外也有数学家认为，这些不确定的问题其实都来自于对无限本身，如果根本不考虑无限的情况，自然可以把不完备性从算术系统中踢出去。这些争论还会继续下去，总之，我们要么否定掉遍布整个现代数学的无限概念，要么就得承认有些关于数的事是注定是无法了解的。