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欲穷千里目,要上几层楼?

早在公元前,毕达哥拉斯就说“地球是圆的”,但直到麦哲伦完成了伟大的环球旅行,这个观点才被世人所承认。事实上在麦哲伦完成远航之前,人们已经发现了许多可以佐证这个观点的证据,其中不乏很多有趣的事实。从其实并没多远的的地平线到跨海大桥,稍加计算你就会发现球的影响几乎无处不在,隐蔽而又有趣。

地平线离我们有多远

如果地球是平的,理论上你可以看到世界的尽头(如果平坦的世界有尽头的话)。但地球是个球,脚下的大地并不平,远方的大地最终会向下弯曲,落到视平线之下。所以即便天气绝佳、前方一片开阔,你最多也只能看到——地平线。问题是,地平线离我们有多远?实际上所谓地平线,就是我们的视线和地球的切点。如果没有障碍物,“地平线”和我们的距离如下图所示:

/gkimage/yi/kp/io/yikpio.png

其中 C 点是视线最远端。 R 表示地球半径,这里取 R = 6371 km,h 是一个正常人的视线高度,不妨设为 1.7 米。根据简单的几何知识,很容易算出:

/gkimage/5f/8u/om/5f8uom.png

将之前的 R = 6.37 × 10 6 m 与 h = 1.75m代入,可以得到:

/gkimage/k8/h6/rd/k8h6rd.png

也就是说一个1.75米高的人,在没有遮挡的情况下,能够看到的“地平线”距离他有4.65 km远。当然这只是一个简单的估算,但结果的精确度已经足够。一个平均身高的人站在一望无垠的草原上,那远方的地平线离他不到 5 千米!

欲穷千里目,要上几层楼

地平线没有想象中那么远,欲穷千里目,只有更上一层楼了。不过话说回来,“上一层楼”到底能穷几里目,“穷千里目”又要上几层楼?不妨让我们也来算一算。

上面这句家喻户晓的名句出自王之涣的《登鹳雀楼》。鹳雀楼在公元 1272 年毁于战火,其高度已无从可考,现在的是 2002 年重修而成。我们不妨拿这座高73.9米共九层的新鹳雀楼来计算一下。为了方便,假设鹳雀楼的一层和地平线平行,而其余每层都等高,第九层的房顶也计入整个楼的高度。

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这时平均每层高 73.9÷9 = 8.2 米,加上之前一个正常成年人的视线高度(1.7米)。我们可以得到,当一个人站在第 x 层的时候,他的视线离地面的高度为

/gkimage/dm/wo/lt/dmwolt.png

这个高度就是上一部分计算地平线离我们有多远公式 d=√(2Rh+h^2 )中的 h。代入则有:

/gkimage/y0/wu/qt/y0wuqt.png

将x=1, 2, …, 9及R=6371000代入,可得:

/gkimage/8s/lo/a0/8sloa0.png

其中 x 是楼层数,而 d 和前文中例子提到过的含义一样,表示在当前楼层上站着的人可以望到的最远距离。每当我们“更上一层楼”的时候,视野范围都会扩大若干公里,但扩张的速度却越来越慢。

如果认为诗中的“千里”就是500 km,根据之前的公式,把 d = 500000 代入可以算出:

/gkimage/ep/69/wu/ep69wu.png

也就是说我们需要上到2387层高的楼,才可以“穷千里目”(这里是一个简化计算,没有考虑光的折射问题)。要是真有这样的一座高楼,它的楼顶距离地面足足有 20 公里——这是飞机通常飞行的高度,也是臭氧层浓度最高的地方。

这样看来,想要“穷千里目”,古人们只能想想了,而我们则可以坐上飞机,一饱眼福。当然了,如果实际去观测就会发现,云层的遮挡和能见度的极限,是阻碍我们看得更远的最大障碍。不过要是能站在地球之外,情况又会变的不一样。下图就是意大利人 2011 年 9 月 10 日利用高空气球飞升到接近 4 万米高空拍到的画面,此时的地平线已然是一条明显的弧线,俯瞰这个星球,风景当真很是不错。顺带一提,在完成了这个光荣使命后,这个气球也英勇就义,化作了碎片。

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而如果你的目标更远大——想要看到半个地球的话,那还是趁早打消了这个念头吧。因为只有在无穷远点,才能够看到完整的半个地球。而很显然,无穷远点实际并不存在。

弯弯的地面弯弯的桥

地球是圆的,大地是弯的,在地面上的建筑物自然也都是弯曲的。一般的高楼大厦,因为底面积比较小不易察觉。但是对于跨度较大的建筑,例如大桥来说,这种弯曲则是非常明显的,也是需要在设计过程中考虑进去的。

金门大桥是美国旧金山一座非常有名的大桥,它的南端连接旧金山,而北端则连接着加州的马林县。这座桥有两个桥墩,整个桥的结构如下图所示:

/gkimage/ok/ls/87/okls87.png

图中 t 为桥墩的高度,l 为两个桥墩在地面高度上的跨度。因为地面是弯曲的,所以对于这座大桥来说,两个桥墩所在的直线事实上并不平行。如果我们将这两个桥墩一直延伸到地心,可以得到下面这张图:

/gkimage/l2/hx/02/l2hx02.png

在这张图里,两个桥墩的延长线会交于地心,产生θ的夹角。图上有两个扇形,我们根据这两个扇形可以得到两个弧长公式:

/gkimage/qs/4n/tg/qs4ntg.png

以及

/gkimage/yn/2a/0k/yn2a0k.png

整理可得:

/gkimage/wv/g0/v4/wvg0v4.png

将 t=230m,l=1280m 以及 R=6371km 代入,很容易算出:

/gkimage/76/hn/6e/76hn6e.png

也就是说,金门大桥两个桥墩的上端间距比下端间距要大了 4.62 厘米,这正是地球圆大地弯导致的。


参考资料: Consequences of a living on a sphere

The End

发布于2012-11-26, 本文版权属于果壳网(guokr.com),禁止转载。如有需要,请联系果壳

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sqybi

计算机科学与工程专业本科生,口琴控,动漫迷

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