2008
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π里包含了所有可能的数字组合吗?

在《疑犯追踪》S02E11里,“宅总”哈罗德·芬奇说了这样一段话:

poi.jpg

“π,圆周长与其直径之比,这是开始。后面一直有,无穷无尽。永不重复。就是说在这串数字中,包含每种可能的组合。你的生日,储物柜密码,你的社保号码,都在其中某处。如果把这些数字转换为字母,就能得到所有的单词,无数种组合。你婴儿时发出的第一个音节,你心上人的名字,你一辈子从始至终的故事,我们做过或说过的每件事,宇宙中所有无限的可能,都在这个简单的圆中。用这些信息做什么,它有什么用,取决于你们。”

很多观众看到这一段之后十分感动,还有人感慨:为什么我们的数学老师没有这么教我们呢?

之所以我们的老师不讲,是因为这段话在数学上是不对的。

无理

宅总的前两句话正确地描述了π的一个属性:无穷无尽且永不重复——换句话说,π是个“无限不循环小数”,也就是“无理数”。

但是,一个无理数并不一定能包含“每种可能的数字组合”。

举个简单的反例:0.909009000900009000009……

(除非特别声明,所有数字都是10进制的,下同。)

这个数的特点是,两个“9”之间的距离会越来越长,每次多一个0,直到无限。它是无穷无尽的,也是不循环的,因此是无理的;但别说“每种可能的数字组合”了,它连0到9这十个数字都凑不齐呢!

合取

包含所有数字组合的数,叫做“合取数”。无理数并不都是合取数。

一个典型的合取数是这样的:0.10200300040000500000600……000110000000000012000……

在越来越长的0串中间,夹杂着从1开始的所有自然数,直到无限。既然包含了所有自然数,当然也就包含了所有的数字组合。

正规

但是写这么多0,多费纸费电啊。如果把这些零去掉呢?

得到的数就是这样:0.123456789101112131415……

这个数不但是合取的,还是“正规”的——从0到9的每一个数字,出现的频率都趋向于一样的值。

随机

如果我们再进一步,连生成规律都不要了,而是用某种真随机生成器(比如哥本哈根解释下的量子随机性)造出一个每位都随机的数,那么它当然就是“随机”的了——不光每一个数字的长期频率趋于一致,任何位置出现的概率也都一样。

那pi是什么?

非常遗憾的是,目前为止我们只证明了pi是个无理数。pi是合取(包含所有可能)的吗?是正规(所有数字出现频率趋于一致)的吗?是随机(每一位上的数字都随机)的吗?

答案是:全都不知道。

我们很容易构造出一个合取数或者正规数,甚至能证明“几乎所有”实数都是合取而且正规的,但是随便拿一个具体的数字,要想判断它是否合取、是否正规,却极其困难。我们甚至都不知道pi里面是不是有无限个数字2。至于随机?别跟我提什么随机。

合取数和正规数有另一个有趣的性质:和进制有关。有个常数叫斯通汉姆数(Stoneham number),在二进制、四进制、八进制……下已经证明全都是正规的了,可是在六进制下却能证明它不是正规的。如果一个数在任何进制下都正规,可以称之为“绝对正规”。不幸的是,pi在任何进制下都没能证明正规——离得最近的是2,有论文证明,假如某个猜想是对的,那么pi就是二进制正规;但那个猜想本身也只是“很可能正确”,还没有得到严格证明。

当然,我们都已经计算出pi的几百亿位了,可以看看它们的分布来猜规律;也可以通过一些其他数学方法拐弯抹角地试图推断。从已知事实来看,pi和正规性吻合得非常之好,换做任何别的人文、社科、自然科学,都可以当做定论来用了,因此几乎所有人都“觉得”它该是正规的。可惜,这是数学,数学是靠证明说话的,只要拿不出证明,数学家就不能安心睡好觉。

pseudo random.png平面上的一个随机行走路线,每一步随机选择上下左右四个方向之一。本组行走路线图片来自David H. Bailey and Jonathan Borwein,下同。

pi 1.png用四进制pi前1000亿位生成的行走路线,0123分别对应上下左右。看起来和随机的很像。但只是看起来。

champernowne.png用四进制詹帕诺尼常数(Champernowne's number)生成的行走路线。这个常数是正规的,但显然一点儿都不随机。

stoneham 4.png四进制斯通汉姆数生成的行走路线。它是正规的,看起来也很随机。

stoneham 3.png三进制斯通汉姆数生成的行走路线。我们不知道它是否正规,但至少看起来和随机很像。

stoneham 6.png六进制斯通汉姆数生成的行走路线。它不正规,所以……也完全不随机。就是这么一条儿。

为什么要在乎这些细节呢?

这篇文章不是为了批评《疑犯追踪》这部剧,事实上看到这一幕的时候我还非常高兴:影视剧里到处都是坏掉的理化生,而坏掉的人文社科干脆就是某些作品的主干——但现在终于出现了(哪怕是坏掉的)数学了!数学至少有了存在感!

但是这文章又必须要写,因为编剧在写这个段子的时候违反了基本的数学精神。其一,数学靠证明说话,哪怕pi距离“包含所有可能序列”离得再近,哪怕每一个人试过的每一个数字序列都能在它里面找到,在得到证明之前你也不能这么说;其二,数学是一个严密的逻辑体系,就算pi真的包含了所有可能性,你也不能说“因为它是无理数所以它是合取数”,这个推论本身的逻辑是错的。哪怕结果蒙对了,也不能为此放过错误的过程,否则整个数学体系就无法存在。

目前看来,pi“应该”是正规和合取的。如果让我打赌,我当然押“包含所有序列”一边;如果我在现实生活中用到了pi,我也会把它当做合取数和正规数那样用。甚至可以说,我“相信”pi是正规的:如果有人告诉我它不正规,我第一反应肯定是不接受;如果计算发现pi从第一万亿位开始变成了9090090009……,我没准都会开始怀疑宇宙的真实性——但是,只要没有出现证明,我就不能言之凿凿对你说:“pi里面包含了所有可能的数字组合”,更不能用似是而非的推论来支持这个说法。经验、审美甚至信仰,在数学里,都敌不过薄薄的一纸证明。

其实死理性派也有情怀,只不过往往用在了奇怪的地方。(编辑:球藻怪)

P.S. 下面是一些和pi相关的网页:
有个工具能在pi的前2亿位里搜索任何一个数。范围里搜到任一八位数生日的概率是86%。
WolframAlpha整理了一些关于pi的有(wu)趣(liao)小知识。 
这个网页上列举了pi的前100万位。
基于pi“很可能有”的合取性,有人半开玩笑地设计了一套文件系统“πfs”,你的所有的数据都(很可能)存在pi的某一个地方,只要找到那个地方就好了。

参考文献

  1. David H. Bailey and Jonathan Borwein. Pi Day Is Upon Us Again and We Still Do Not Know if Pi Is Normal.  American Mathematical Monthly, Mar 2014
 
The End

发布于2014-12-17, 本文版权属于果壳网(guokr.com),禁止转载。如有需要,请联系果壳

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古生物学博士生,科学松鼠会成员

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