谣言粉碎机 数学

π里包含了所有可能的数字组合吗?

π Pi pie 3.1415926 圆周率 无限 每一个 疑犯追踪 芬奇 宅总 3.14 派

Ent 发表于  2014-12-17 14:47

在《疑犯追踪》S02E11里,“宅总”哈罗德·芬奇说了这样一段话:

poi.jpg

“π,圆周长与其直径之比,这是开始。后面一直有,无穷无尽。永不重复。就是说在这串数字中,包含每种可能的组合。你的生日,储物柜密码,你的社保号码,都在其中某处。如果把这些数字转换为字母,就能得到所有的单词,无数种组合。你婴儿时发出的第一个音节,你心上人的名字,你一辈子从始至终的故事,我们做过或说过的每件事,宇宙中所有无限的可能,都在这个简单的圆中。用这些信息做什么,它有什么用,取决于你们。”

很多观众看到这一段之后十分感动,还有人感慨:为什么我们的数学老师没有这么教我们呢?

之所以我们的老师不讲,是因为这段话在数学上是不对的。

无理

宅总的前两句话正确地描述了π的一个属性:无穷无尽且永不重复——换句话说,π是个“无限不循环小数”,也就是“无理数”。

但是,一个无理数并不一定能包含“每种可能的数字组合”。

举个简单的反例:0.909009000900009000009……

(除非特别声明,所有数字都是10进制的,下同。)

这个数的特点是,两个“9”之间的距离会越来越长,每次多一个0,直到无限。它是无穷无尽的,也是不循环的,因此是无理的;但别说“每种可能的数字组合”了,它连0到9这十个数字都凑不齐呢!

合取

包含所有数字组合的数,叫做“合取数”。无理数并不都是合取数。

一个典型的合取数是这样的:0.10200300040000500000600……000110000000000012000……

在越来越长的0串中间,夹杂着从1开始的所有自然数,直到无限。既然包含了所有自然数,当然也就包含了所有的数字组合。

正规

但是写这么多0,多费纸费电啊。如果把这些零去掉呢?

得到的数就是这样:0.123456789101112131415……

这个数不但是合取的,还是“正规”的——从0到9的每一个数字,出现的频率都趋向于一样的值。

随机

如果我们再进一步,连生成规律都不要了,而是用某种真随机生成器(比如哥本哈根解释下的量子随机性)造出一个每位都随机的数,那么它当然就是“随机”的了——不光每一个数字的长期频率趋于一致,任何位置出现的概率也都一样。

那pi是什么?

非常遗憾的是,目前为止我们只证明了pi是个无理数。pi是合取(包含所有可能)的吗?是正规(所有数字出现频率趋于一致)的吗?是随机(每一位上的数字都随机)的吗?

答案是:全都不知道。

我们很容易构造出一个合取数或者正规数,甚至能证明“几乎所有”实数都是合取而且正规的,但是随便拿一个具体的数字,要想判断它是否合取、是否正规,却极其困难。我们甚至都不知道pi里面是不是有无限个数字2。至于随机?别跟我提什么随机。

合取数和正规数有另一个有趣的性质:和进制有关。有个常数叫斯通汉姆数(Stoneham number),在二进制、四进制、八进制……下已经证明全都是正规的了,可是在六进制下却能证明它不是正规的。如果一个数在任何进制下都正规,可以称之为“绝对正规”。不幸的是,pi在任何进制下都没能证明正规——离得最近的是2,有论文证明,假如某个猜想是对的,那么pi就是二进制正规;但那个猜想本身也只是“很可能正确”,还没有得到严格证明。

当然,我们都已经计算出pi的几百亿位了,可以看看它们的分布来猜规律;也可以通过一些其他数学方法拐弯抹角地试图推断。从已知事实来看,pi和正规性吻合得非常之好,换做任何别的人文、社科、自然科学,都可以当做定论来用了,因此几乎所有人都“觉得”它该是正规的。可惜,这是数学,数学是靠证明说话的,只要拿不出证明,数学家就不能安心睡好觉。

pseudo random.png平面上的一个随机行走路线,每一步随机选择上下左右四个方向之一。本组行走路线图片来自David H. Bailey and Jonathan Borwein,下同。

pi 1.png用四进制pi前1000亿位生成的行走路线,0123分别对应上下左右。看起来和随机的很像。但只是看起来。

champernowne.png用四进制詹帕诺尼常数(Champernowne's number)生成的行走路线。这个常数是正规的,但显然一点儿都不随机。

stoneham 4.png四进制斯通汉姆数生成的行走路线。它是正规的,看起来也很随机。

stoneham 3.png三进制斯通汉姆数生成的行走路线。我们不知道它是否正规,但至少看起来和随机很像。

stoneham 6.png六进制斯通汉姆数生成的行走路线。它不正规,所以……也完全不随机。就是这么一条儿。

为什么要在乎这些细节呢?

这篇文章不是为了批评《疑犯追踪》这部剧,事实上看到这一幕的时候我还非常高兴:影视剧里到处都是坏掉的理化生,而坏掉的人文社科干脆就是某些作品的主干——但现在终于出现了(哪怕是坏掉的)数学了!数学至少有了存在感!

但是这文章又必须要写,因为编剧在写这个段子的时候违反了基本的数学精神。其一,数学靠证明说话,哪怕pi距离“包含所有可能序列”离得再近,哪怕每一个人试过的每一个数字序列都能在它里面找到,在得到证明之前你也不能这么说;其二,数学是一个严密的逻辑体系,就算pi真的包含了所有可能性,你也不能说“因为它是无理数所以它是合取数”,这个推论本身的逻辑是错的。哪怕结果蒙对了,也不能为此放过错误的过程,否则整个数学体系就无法存在。

目前看来,pi“应该”是正规和合取的。如果让我打赌,我当然押“包含所有序列”一边;如果我在现实生活中用到了pi,我也会把它当做合取数和正规数那样用。甚至可以说,我“相信”pi是正规的:如果有人告诉我它不正规,我第一反应肯定是不接受;如果计算发现pi从第一万亿位开始变成了9090090009……,我没准都会开始怀疑宇宙的真实性——但是,只要没有出现证明,我就不能言之凿凿对你说:“pi里面包含了所有可能的数字组合”,更不能用似是而非的推论来支持这个说法。经验、审美甚至信仰,在数学里,都敌不过薄薄的一纸证明。

其实死理性派也有情怀,只不过往往用在了奇怪的地方。(编辑:球藻怪)

P.S. 下面是一些和pi相关的网页:
有个工具能在pi的前2亿位里搜索任何一个数。范围里搜到任一八位数生日的概率是86%。
WolframAlpha整理了一些关于pi的有(wu)趣(liao)小知识。 
这个网页上列举了pi的前100万位。
基于pi“很可能有”的合取性,有人半开玩笑地设计了一套文件系统“πfs”,你的所有的数据都(很可能)存在pi的某一个地方,只要找到那个地方就好了。

参考文献

  1. David H. Bailey and Jonathan Borwein. Pi Day Is Upon Us Again and We Still Do Not Know if Pi Is Normal.  American Mathematical Monthly, Mar 2014
 

热门评论

  • 2014-12-17 15:00 酥酥 果壳网新媒体编辑

    看完心情复杂……

    (说得好像你看懂了一样

    [108] 评论
  • 2014-12-17 15:23 渎神之主

    我的银行卡密码是π小数点后十万三千六百四十二位到四十七位。

    [88] 评论
  • 2014-12-17 17:04 科学金丝枣糕子

    死理性从来不意味着缺少浪漫和情怀,它只是让我们拒绝不合理的内容罢了,所谓“格里高尔可以在一觉醒来变成了一只甲虫,但是这只甲虫必须是三对足的”正是如此。

    [67] 评论

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全部评论(211)
  • 1楼
    2014-12-17 14:54 moogee 果壳网主编,科学松鼠会成员

    好想上那张著名的图。。。

    [12] 评论
  • 2楼
    2014-12-17 15:00 酥酥 果壳网新媒体编辑

    看完心情复杂……

    (说得好像你看懂了一样

    [108] 评论
  • 3楼
    2014-12-17 15:20 球藻怪 营养与食品科学硕士

    好厉害啊没懂…………

    [8] 评论
  • 4楼
    2014-12-17 15:23 渎神之主

    我的银行卡密码是π小数点后十万三千六百四十二位到四十七位。

    [88] 评论
  • 5楼
    2014-12-17 15:23 Lyroat 地球物理专业,果壳实验室成员
    引用@Calo 的话:那张著名的图是谁。。

    。。。。。。

    [1] 评论
  • 6楼
    2014-12-17 15:26 灰去来喜_31647

    其实死理性派也有情怀,只不过往往用在了奇怪的地方。

    [6] 评论
  • 7楼
    2014-12-17 15:50 shanzi222

    数学有了存在感,呵呵

    [0] 评论
  • 8楼
    2014-12-17 15:54 Golofa_aegon
    引用@球藻怪 的话:好厉害啊没懂…………

    这算自黑么。。。

    [1] 评论
  • 9楼
    2014-12-17 16:05 incons

    最经济的数字表示法是e进制,说不准哪天蹦出来个证明π只在e进制下正规。好基友不分离

    [9] 评论
  • 10楼
    2014-12-17 16:24 这里是地球吗.

    √2√3√5√7前来报到

    [0] 评论
  • 11楼
    2014-12-17 16:45 殪觋

    哪怕每一个人试过的每一个数字序列都能在它里面找到,在得到证明之前你也不能这么说

    我见识少,现在穷举不是证明方法了?

    [4] 评论
  • 12楼
    2014-12-17 16:53 左左昔

    看完全文,不知道为什么“注孤生”不停地蹦出来。。。


    [5] 评论
  • 13楼
    2014-12-17 16:57 hacker小黑
    引用@殪觋 的话:哪怕每一个人试过的每一个数字序列都能在它里面找到,在得到证明之前你也不能这么说我见识少,现在穷举不是证明方法了?

    枚举从来不是证明方法吧,他只能说明摸个命题是错的(一个反例),而不能证明一个命题是对的,除非命题本身枚举情况有限

    [8] 评论
  • 14楼
    2014-12-17 16:58 冈部红莉栖 计算机&数字媒体技术专业
    引用@moogee 的话:好想上那张著名的图。。。

    难道是这张

    [27] 评论
  • 15楼
    2014-12-17 17:04 fanyii

    “之所以我们的老师不讲,是因为这段话在数学上是不对的。”

    这一点不能赞同。

    [14] 评论
  • 16楼
    2014-12-17 17:04 科学金丝枣糕子

    死理性从来不意味着缺少浪漫和情怀,它只是让我们拒绝不合理的内容罢了,所谓“格里高尔可以在一觉醒来变成了一只甲虫,但是这只甲虫必须是三对足的”正是如此。

    [67] 评论
  • 17楼
    2014-12-17 17:11 None

    其实这个可以用反正的办法,比如说证明π可不可能在无限不循环中出现123456789987654321这样的数列,就算是无限的,我想也不可能出现这种可能性。

    [1] 评论
  • 18楼
    2014-12-17 17:17 太平天国呜喵王薛顶饿
    引用@殪觋 的话:哪怕每一个人试过的每一个数字序列都能在它里面找到,在得到证明之前你也不能这么说我见识少,现在穷举不是证明方法了?

    穷举只适合有限集……

    [8] 评论
  • 19楼
    2014-12-17 17:32 小亞

    为什么那么多人从这里面看出那么多感慨。。。@-@

    [0] 评论
  • 20楼
    2014-12-17 17:32 董蕊_39194
    引用@flock 的话:其实这个可以用反正的办法,比如说证明π可不可能在无限不循环中出现123456789987654321这样的数列,就算是无限的,我想也不可能出现这种可能性。

    但是我想是很可能出现的,如果写到1000000000000000000位,而且证实好证证伪难。


    [0] 评论
  • 21楼
    2014-12-17 17:56 天朝科学进步党

    莫名地想到了大统一理论。←_ ←

    [2] 评论
  • 22楼
    2014-12-17 18:04 kenso

    自以为是的人类,宅总早就证明了,只是不屑于发布成果而已

    [4] 评论
  • 23楼
    2014-12-17 18:23 专业扑杀小清新

    来上一道初中数学题:

    ∵包含所有数字组合的数,叫做“合取数”。无理数并不都是合取数。并且π属于无理数。

    ∴π里包含了所有可能的数字组合是错误的

    怎么看怎么不属于数学问题,属于语文阅读题啊

    [2] 评论
  • 24楼
    2014-12-17 18:23 雨观潮

    我被封面上的蛋糕吸引进来

    [1] 评论
  • 25楼
    2014-12-17 18:30 乌皆

    先不论语言的正确性与否,这的确打动吾心了。数学与哲学与人文都应该是彼此之间紧密联系的。多少文科生败在数学,若是老师多一些感性与抒情的言语,想必也不会将文理弄得如此泾渭分明吧。当然,正确性必须是前提!

    [2] 评论
  • 26楼
    2014-12-17 19:01 V月雨
    引用@渎神之主 的话:我的银行卡密码是π小数点后十万三千六百四十二位到四十七位。

    那么顺便告诉我你的卡号呗。

    [7] 评论
  • 27楼
    2014-12-17 19:06 真_草履虫

    其实只用01就能把图里说的都表示出来。。。。何必麻烦π呢。。。

    [1] 评论
  • 28楼
    2014-12-17 19:12 AI油泳的鹰 勘查技术与工程专业,编程爱好者
    引用@雨观潮 的话:我被封面上的蛋糕吸引进来

    我不是一个人

    [1] 评论
  • 29楼
    2014-12-17 19:13 猫儿上露珠
    引用@flock 的话:其实这个可以用反正的办法,比如说证明π可不可能在无限不循环中出现123456789987654321这样的数列,就算是无限的,我想也不可能出现这种可能性。

    那只是你以为罢了。

    [4] 评论
  • 30楼
    2014-12-17 19:15 猫儿上露珠
    引用@殪觋 的话:哪怕每一个人试过的每一个数字序列都能在它里面找到,在得到证明之前你也不能这么说我见识少,现在穷举不是证明方法了?

    有限集才穷举,我见识少,现在无限集也可以穷举了?

    [3] 评论

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