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为什么不能除以零?

魏郎尔 发表于  2015-07-03 18:50

如果你问苹果手机上的Siri,“零除以零等于多少”,它会显示:

但是,英文版的Siri还会用语音说这一段话:

“假如你有0块饼干,要分给0个朋友,每个人能分到几块?你看,这个问题没有任何意义吧?甜饼怪会难过,因为没有饼干吃,而你也会难过,因为你一个朋友都没有。”

(中文版也会,但言辞就没那么伤人了……)

抛开这个伤人的回答不论(有朋友谁特么会跟你聊天啊喂!),除以零确实是个困扰很多人的问题。十除以二等于五,六除以三等于二,一除以零是多少?小学数学就会告诉你,答案是不能除。但是为什么?零也是个数字,它到底哪里特殊了?

小学篇

小学算术里,这个问题很简单。那时我们把除法定义成“把一个东西分成几份”,分成一二三四五六七份都很容易想象,但是你要怎么把10个饼干分给0个人呢?想象不出来嘛!所以不能除。

敏锐的同学可能会想到,要是0个饼干分给0个人的话,本来无一物,好像就没关系了。但既然无物也无人,每个人分得多少都是可能的呀,根本无法给出一个单一确定的数值。

这结论没错,但这都是凭直觉而得到的东西。你想象不出来,不一定意味着它没有。远古时代的数学是建立在直觉上的,买菜是够用了,但要进一步发展,就必须要有定义和证明——所以,我们上了中学。

初中篇

现在我们开始接触最最基本的代数学——也就是解方程。我们发现,除法和乘法互为逆运算,所以问

1 / 0 = ? 

就等于是解方程

0 * x = 1

好了,按照定义,0乘以任何数都是0,不可能等于1,所以满足x的数字不存在,所以不能除。

同样,如果问

0 / 0 = ? 

就等于是解方程

0 * x = 0

同理,任何数字都可以满足x,所以也不能除——无法确定一个单一的答案。

高中篇

等到接触了基本的形式逻辑,我们又会发现另一种证明方式:反证法。

一堆真的表述,不能推出一个假的表述,所以如果我们用“能够正常地除以零”加上别的一堆真表述,最后推出假的来,那只能说明“除以零”这件事情不成立了。

所以,已知

0 * 1 = 0  

0 * 2 = 0  

推出  0 * 1 = 0 * 2

两边同时除以零,得到 ( 0 / 0 ) * 1 = ( 0 / 0 ) * 2

化简得到 1 = 2。这显然是错的啦。

那么,问题解决了吧!其实还没有。想想另一个问题:-1的平方根是多少?

你可能会说,-1不能开平方根,因为所有数的平方都是非负的。但是这说的是实数,我要是增加一个定义呢?定义i^2=-1,这就创造出了虚数,于是-1也能开平方根了。

那么,为何不能定义一个“新”的数,让 1 / 0 也等于它,并为这个数设立一套运算法则呢?这就得去大学里回答了。

大一篇

刚学微积分课程就会立刻接触到∞这个符号。咦,这不就是“无限”嘛。我们都学了极限的概念了,那么我令b趋向于0,然后把a/b的极限定义为无穷,不行吗?

这就立刻遇到一个问题,它的左极限和右极限不一样啊。b是从负的那头靠近0,还是正的那头?这一个是越来越负,一个是越来越正,碰不到一起去。这样的极限是没法定义的。

因此,微积分课程里会反复说,虽然用到了∞这个符号,但是这只是代表一个趋势,绝对不是一个真正的数,不可参与运算。

大二篇

那么吸取教训,我不用现成符号了,我直接定义  1 / 0  = w,w是个“无限大”的数,不碰什么极限,你总没话说了吧!

然而,定义不是说来就来的,你虽然可以随便定义东西,但定义完了如果和现有的其他系统矛盾,那就不能用,或者很不好用。

而我们面对w立刻就遇到了问题。首先,w要怎么放入基本的加减乘除体系里?1 + w等于多少?w - w等于多少?如果你造了一个数,却连加减乘除都不能做,那就不是很有用对吧。

比如直觉上,1 + w 应该等于 w,它都无限了嘛! 而 w - w 则等于0,自己减自己嘛!

但这样立刻会和加法里极其重要的“结合律”产生矛盾: 1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1,可是( 1 + w ) - w = w - w = 0。结合律是加法里非常基本的东西,为了一个w,连结合律都不要了,这成本有点大——不光是结合律本身,多少数学定理证明过程中不自觉都用了它,扔了它就都得重来,建立新体系。新体系不是不能建,但是费心费力又(暂时)无卵用,所以大家还是在老实用旧的——而旧的里面,为了保住结合律,就不能这么玩。

欢迎读者们发挥自己的想象力,尝试为 w 给出运算方式。但是你会发现,无论怎么规定w和别的数字之间的关系,只要你还坚持 1 / 0 = w,你就没法让它和你从小学习的基本数学不矛盾。还是那句话,你可以另立门户,在w的基础上建立起你的新数学,但它和大部分传统数学是不相容的,而且肯定会非常不好用,所以我们用了一个不能除以零的体系是非常合理的。

大三篇

你可能会提出反对:有那么多的定义方式,我都试过?要是没试过,我怎么知道不会某一天冒出来一个能够自洽的办法?

“新发现推翻旧结论”这种事情,在生物里可以有,化学里可以有,物理里可以有,唯独数学里没有。因为数学建立在逻辑上,个案有例外,逻辑没有例外。当然我们的数学还没有完成最终公理化,还要面对哥德尔的幽灵,但至少在这个例子里,如果w是一个真正的数,那它就违反了一些非常重要的公理,而这些公理的地位可是非常之深。

比如有一组基本的公理叫“皮亚诺公理”,其中有一条说,每一个确定的自然数都有一个确定的后继,后继也是自然数;另一条说,自然数b=c,当且仅当b的后继=c的后继。

那w是谁的后继呢——或者说,谁加上1能得到w呢?显然所有其他的数字都已经有了自己的后继,w在其中没有位置,没有任何其他的数加上1能成为w。那么就只能是1+w=w了,可那就直接和第二句话矛盾。而没有皮亚诺公理,整个自然数的体系都不能成立。

这里假定w是自然数。其他情况会略微复杂一些,但无论如何,类似的事情发生在w的各种定义里。如果你想把w当成一个数,那就没法和我们现有的实数兼容。所以我们在几乎所有场合下都只能宣布,不能除以0。

大四以上篇

既然我们之前说了个“几乎”,那就是有例外的——在个别奇葩场合下,可以。

比如有一个东西叫做“复无穷”,它是扩充复平面上的一个点,真的是有定义的一个点。在这个特殊的规则下你可以写下 1 / 0 = ∞ 这样一个表达式。这么做的原因就说来话长了,但它不是平常意义上的运算——比如你不能把0拿回来,不能写 1 = 0 * ∞。

另外,“无穷”二字在一些别的场合下是可以当成一个“东西”去对待的。比如当你衡量一个集合的大小的时候,它可以是无穷大的。但这就有很多种不同的无穷大了——自然数是无穷多的,有理数是无穷多的,实数也是无穷多的,可是奇数和偶数和正整数和负整数和自然数和有理数都一样多,而实数却比它们都多!同样是无穷,有的无穷比别的无穷更无穷。但这就是另一个话题了,打住。

总结篇

所以,当我们说不能除以零的时候,理由……竟然出乎意料地充足。有许多直觉在数学里被推翻了,但是这一条没有。我们有种种数学上的方式去证明它无法成立的原因,虽然也许听起来不如Siri的回答那么心暖(或者心寒),但这些理性的愉悦也是一种美丽,对吧?

(编辑:Ent)

热门评论

  • 2015-07-03 19:40 incons

    其实要说最讨厌的还是0!=1,给人一种莫名其妙喜当爹的赶脚。

    [188] 评论
  • 2015-07-03 19:37 cccp

    [92] 评论
  • 2015-07-03 19:13 窗敲雨 药学硕士

    甜饼怪怒了(╯‵□′)╯︵┻━┻

    [90] 评论

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全部评论(103)
  • 1楼
    2015-07-03 18:57 Lyroat 地球物理专业,果壳实验室成员

    来自cortana。。。

    [39] 评论
  • 2楼
    2015-07-03 19:13 窗敲雨 药学硕士

    甜饼怪怒了(╯‵□′)╯︵┻━┻

    [90] 评论
  • 3楼
    2015-07-03 19:37 cccp

    [92] 评论
  • 4楼
    2015-07-03 19:40 incons

    其实要说最讨厌的还是0!=1,给人一种莫名其妙喜当爹的赶脚。

    [188] 评论
  • 5楼
    2015-07-03 20:29 负一的平方根

    域中零元是没有逆元的,仅此而已

    [1] 评论
  • 6楼
    2015-07-03 21:54 果壳乙烷

    第二张图下面的马赛克好明显啊……

    [0] 评论
  • 7楼
    2015-07-03 22:19 硅基雪狐

    上午在QQ空间看到这个,下午就来这个了?神速!

    [0] 评论
  • 8楼
    2015-07-03 23:14 花吃了那只鸡
    引用@incons 的话:其实要说最讨厌的还是0!=1,给人一种莫名其妙喜当爹的赶脚。

    哈哈哈哈哈哈哈哈哈就是这样啊凑!!!

    来自NOKIA Lumia 920T
    [0] 评论
  • 9楼
    2015-07-03 23:26 侧卫007

    不知道为什么我产生了一种“写得不如M67”的感觉。。。

    [0] 评论
  • 10楼
    2015-07-04 00:11 itnogotd

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    [0] 评论
  • 11楼
    2015-07-04 08:39 笨猪_17483

    如果说0/0的解集是所有数的集合呢?似乎没什么不对,因为任何数乘以0都等于0。

    除了0之外的任何数除以0都无解,因为任何数乘以零都不可能是非零的?

    因为0/0对应了所有数,所以所有非零数除以零就没有任何数可以对应了,这也很合理啊?



    [2] 评论
  • 12楼
    2015-07-04 11:21 双料黑客 厨房生物DIYer

    话说小学2年级我就到大四篇了,但是逻辑关系就简单多了,都怪我自学高数不是太到位,虽然结果问题不大,但是过程有漏洞。

    [1] 评论
  • 13楼
    2015-07-04 11:51 萝卜萝卜Carrot

    本以为用“没有意义”就可以回答了,结果复杂到跪orz

    来自 阿瑞斯星全球第一超级旗舰iBananas 6S及火星移通运营商
    [1] 评论
  • 14楼
    2015-07-04 13:31 冰水卡

    人家sari都说了:0/0 = undef,

    undef + c = undef , undef * c = undef ,undef - undef = undef

    undef ^ c = undef ,

    虽然undef除了说明 '你这个⑨,又除以0了' 之外,并没有什么有用的意义

    [4] 评论
  • 15楼
    2015-07-04 14:27 eggcar 古典吉他控,通信工程专业

    还以为还要扯一下集合论呢...

    [1] 评论
  • 16楼
    2015-07-04 14:38 we_cry 空间信息与数字技术专业

    1/0 // Infinity
    1/-0 // -Infinity
    0/0 // NaN

    来自 果壳的壳
    [5] 评论
  • 17楼
    2015-07-04 16:55 Umbrella_zc

    0÷0=?

    最早出现在高三的一道导数题目,当时才知道=1.

    [0] 评论
  • 18楼
    2015-07-04 17:06 mchf

    好文章,必须顶。

    [0] 评论
  • 19楼
    2015-07-04 17:13 AI油泳的鹰 勘查技术与工程专业,编程爱好者

    >>>console.log((1/0).toString())

    undefined

    [0] 评论
  • 20楼
    2015-07-04 17:18 银祾

    长知识……

    [0] 评论
  • 21楼
    2015-07-04 17:29 馒头老妖 有机化学博士,法学学士

    蛮有意思的。

    [0] 评论
  • 22楼
    2015-07-04 18:10 懒人宅

    记得以前小学课堂上也讨论过这个问题,当时大家讨论一番之后,老师再总结就是“没有意义”

    [0] 评论
  • 23楼
    2015-07-04 18:13 Wavechaser
    引用@Lyroat 的话:来自cortana。。。

    还我的面团!圈圈丑死了!粉色才好看!首字要大写!

    [0] 评论
  • 24楼
    2015-07-04 18:34 从前有个胖子

    我的为什么永远都是“正在呼叫06109xxxxxx”(或者其他不同的数字)

    [4] 评论
  • 25楼
    2015-07-04 18:53 方便面先生

    请求转载

    [0] 评论
  • 26楼
    2015-07-04 18:59 兰江畔灬西山边

    当你能搞懂为什么1+2=3时,你就能理解为什么不能除以零了

    [0] 评论
  • 27楼
    2015-07-04 19:00 落叶-墩墩

    还好数学学的不好 根本没看懂 呃……

    [0] 评论
  • 28楼
    2015-07-04 19:43 wjk199511140034
    引用@incons 的话:其实要说最讨厌的还是0!=1,给人一种莫名其妙喜当爹的赶脚。

    for(0!=1)

    ,,,,,,

    [2] 评论
  • 29楼
    2015-07-04 20:01 samino

    本篇文章真是继siri之后的二连击!

    [0] 评论
  • 30楼
    2015-07-04 20:20 大头虾yanyan

    是我眼花还是啥?我上下滚动手机屏幕,会看到甜饼怪的嘴好像在动

    [1] 评论

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