热点 数学

谁是世界上最孤独的数?

Ent 发表于  2015-08-20 11:11

看到哪个数,你会觉得最孤独?

有人会说是1,因为它孤身一人。有人会说是0,因为它没有任何存在感。有人会说是214,有人会说是419(咦)。这些都是字面上的直接联想,因人而异,很难说哪个比哪个更加孤独。

然而对一个学过数学的人来说,确实存在一个最“孤独”的数。这个数就是所谓的黄金分割率φ。许多人说它是最美的数,美不美这种事情是一个主观概念——但我们能从数学上证明,它是最“无理”的数,最难以接近的数,因而在这个意义上,是最孤独的数。

图片来源:www.cosmomyth.com

越走越近,却永远不能在一起

一个无理(irrational)数有很多种表现方式。我们最熟悉的是无限不循环小数的形式,每多写下一位数,就是用一个更加精确的有理(rational数去逼近它。当然,这个过程永远到不了尽头。

但是无理数也可以用分数的形式表现,只不过这个分数也是无穷无尽的——这就需要“连分数”。不要怕,这里的全部数学只是加减乘除和通分,不超过小学五年级。

先用一个有理数作为例子:1024/137,约等于7.47445255。

第一级近似:7,于是它变成了 7 + 65/137。

第二级近似:把第一级留下的分数倒过来,137/65 近似是2,于是它变成了 2 + 7/65,于是开始的那个数字就变成了 7 + 1 / ( 2 + 7/65 )。

第三级近似:对7/65进行类似处理,以此类推。

最后得到的结果是

或者,省去那些多余的1,可以表达为 [7; 2, 9, 3, 2]。

能够证明,每一个有限的连分数都代表一个有理数,而每一个有理数能且只能表示成两种形式的连分数(要求第一个系数是整数,剩下的全是正整数)。比如上面那个数也可以表示为 [7; 2, 9, 3, 1, 1]。除这两种之外再没有别的写法了。

同样的步骤完全适用于无理数,但这时得到的连分式就会一直延续下去。比如,π的连分式可以表示为

或者用简化的表达式:[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, ...]。这个数列在“整数数列线上大全”(OEIS)中的编号是A001203

一步一米,或者一步十年

使用连分数来逼近,就会遇到一个“逼近速度”的问题:每前进一步,近似值向精确值靠近了多少呢?

回到π的例子。我们先看第一位近似——7。忽略后面剩下的:

π ≈ 3 + 1/7 = 22/7 ≈ 3.142...

熟悉吗?这就是当年祖冲之发现的“约率”。

如果接下来看到第三位近似:

π ≈ 3 + 1 / ( 7 + 1 / (15 + 1) ) = 3 + 1 / ( 113 / 16 ) = 355/113 ≈ 3.1415929...

也即祖冲之的“密率”。二者都是对π的极好的近似。

这就是连分数的一个神奇属性:当你得到一个连分数后,你就自动获得了“最快”的逼近精确值的方式。这有点违反直觉——当你用7作为分母的时候,最小的单位就是1/7,那么误差范围应该是1/14以内吧?实际上,使用连分数获得的误差范围不是1/14以内,而是1/49以内! 22/7 - π ≈ 0.0126 < (1/7)^2。

更一般地,假如一个无理数α,它的某一步连分式展开后变成了 p / q 的形式,那么一定有

| α - p/q | < 1 / q^2

而且, 这一定是当前最好的精确值,任何比它更精确的分式都一定需要更大的分母。π的前三级展开,分别是 22/7、333/106、355/113;你在1-6的范围内一定找不到比7更好的,1-112的范围内一定找不到比113更好的。但是,7却比8、9、10……都要好。因此可以说,连分数在某种意义上揭示了一个无理数的深层结构。

那么回到我们开始的问题。最快的逼近速度有多快?从上面的公式可以看出来,这完全取决于连分式里具体的每个数——数字越大逼近越快,数字越小逼近越慢。祖冲之能发现约率和密率,部分原因是因为他运气好,π开头的这俩数正好都不小,所以能给出很漂亮的逼近。

而最小的正整数,当然就是1了。

黄金分割率,最漫长的旅程

如果有这样一个数:[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...] 

或者,

你肯定猜到了,这就是传说中的黄金分割数φ,1.61803398... 如果去掉前面的1就会得到另一个常见形式:0.618...  而这两个数正好互为倒数。从连分式这个形式就能看出来为什么。

lucas infinite.gif

我们试着逼近一下,得到的是

2/1 = 2

3/2 = 1.5

5/3 = 1.66666...

8/5 = 1.6

13/8 = 1.625

21/13 = 1.61538...

进行了6次近似,结果才到小数点后2位!刚才我们用π仅仅进行了2次近似,就精确到了小数点后6位。

(你可能注意到了,这个连分数的每一级逼近,就是传说中的斐波那契数列。为什么?你猜。)

1是最小的正整数。因此,φ,这个全部由1组成的连分数,是所有数中最难以接近的数。没有之一。

孤独的数,高冷的数,独一无二的数,不可捉摸的数

许多人说φ是最美的数,贯穿整个西方艺术史,所有优秀的设计都要用到它。这其实是夸大其词了。很多所谓的显示了黄金分割率的图,其实只是强行把一个对数螺线罩上去而已,二者并没有什么相似之处。黄金分割率是19世纪才开始流行的观念,达芬奇本人从未提过;现实中大部分比例(3:2,4:3,16:9)固然和黄金率离得不“太”远,但几乎见不到精确符合它的;人体并不严格符合黄金律;如果你让艺术系的学生挑选他们眼中最美的的长方形,挑出来的长宽比并不是围绕黄金律的。一项实验表明,只要是1.4-1.7范围内的长方形,人们都会觉得好看。黄金率在审美上没有什么特殊之处,我们看到的只是人们企图攀附它来寻找所谓的理论依据而已。

请问这张图里前面那个对数螺线和后面那个建筑除了一样宽之外还有几毛钱的关系?图片来源: Sébastien Bertrand

然而,自然界“懂得”它的真正含义。

想象你是一朵向日葵。你的果实和种子是在中心生长出来的,然后逐渐被“推”到外面去,过程中逐渐变大——因此传统的密堆方式(比如蜂巢那样的六边形)就不能用了。但是每长出一粒新的籽,你可以选择旋转一定的角度然后再长下一颗。

如果你旋转90度,也就是1/4个圆,结果就是这样:

因为外圈的空间比内圈大,所以有些地方你永远用不到。这很浪费空间。选择任何分数——1/3、1/4、2/5、3/7……结果都是这样,形成周期的图样,而两个周期中间的地方,总触及不到。

要想避开周期,只能用无理数。结果就是这样:

大有改善,但是还有很多缝隙没用上。毕竟,无理数是可以用连分数近似的。近似得太好的话,就和分数没有太多差别。

因此,我们必须找一个距离分数最远的、最难近似的、最无理的数,这样才不会产生周期性,才能补上中间的那些空隙。

这就是φ。它所对应的角度,大约是137.5度。

这个数字必须极其精确,不然就会毁掉整个图样。往上数第二张图——那是137.6度,多了0.1而已。但自然界很明显抓住了这个数。向日葵当然不懂这背后的数学原理,但在自然选择的压力下它猜中了答案。

本系列图片来源:《一道八百年松鼠难题》by 桔子帮小帮主,下图不再一一注明

下面这个flash可以模拟不同的取值所带来的后果。输入0.618,再比较一下0.617和0.619的结果。如果说φ里体现了美,我倒宁愿认为是它展现了自然界的一角,而不是因为似是而非的神秘主义。

总之,不论在审美的意义上φ是否是一个美的数,在数学的意义上φ是一个高冷的数。它最为高效,然而又最难靠近,最是无理,因此,它也是最孤独的数。

而相比之下,一个人之所以孤独,则常常不是因为无理,而是因为过于理性了。(编辑:Calo)

热门评论

  • 2015-08-20 11:19 Jerrusalem

    我就提一句,这篇文章是11:11分发的……

    [121] 评论
  • 2015-08-20 11:27 猫加肥

    哈哈~最后一句真相了。

    七夕之际,看到此文感觉是变着向的对理科男造成0.618点伤害。

    “一个人之所以孤独,则常常不是因为无理,而是因为过于理性了。”

    译码:

    “你理性,你孤独,你没朋友。你没女朋友,你是单身狗,你得接受0.618点伤害。”

    23333333

    笑哭~

    [63] 评论
  • 2015-08-20 12:09 天降龙虾

    理性是一种难以更改的思维习惯,所以是一种持续伤害:

    [42] 评论

显示所有评论

全部评论(84)
  • 1楼
    2015-08-20 11:19 Jerrusalem

    我就提一句,这篇文章是11:11分发的……

    [121] 评论
  • 2楼
    2015-08-20 11:27 猫加肥

    哈哈~最后一句真相了。

    七夕之际,看到此文感觉是变着向的对理科男造成0.618点伤害。

    “一个人之所以孤独,则常常不是因为无理,而是因为过于理性了。”

    译码:

    “你理性,你孤独,你没朋友。你没女朋友,你是单身狗,你得接受0.618点伤害。”

    23333333

    笑哭~

    [63] 评论
  • 3楼
    2015-08-20 11:31 猫加肥
    引用@猫加肥 的话:哈哈~最后一句真相了。七夕之际,看到此文感觉是变着向的对理科男造成0.618点伤害。“一个人之所以孤独,则常常不是因为无理,而是因为过于理性了。”译码:“你理性,你孤独,你没朋友。你没女朋友,你是单身...

    为什么伤害只有0.618?因为作者写的太隐晦~对没看出来的理科单身狗伤害不大~

    经过我的译码之后,伤害11111111111111111111...........

    [6] 评论
  • 4楼
    2015-08-20 11:54 Happymation

    xi xi yan jing


    [0] 评论
  • 5楼
    2015-08-20 12:05 生命激流

    很好奇这个自然选择过程花了多久……

    植物可以产生更多种子这个好理解,那么软体动物的壳呢?有些蜗牛壳看着好像也是符合这个螺线,而鲍鱼就不符合,符合的那些是受到什么样的压力呢……

    [0] 评论
  • 6楼
    2015-08-20 12:08 金汞齐
    引用文章内容:有人会说是419(咦)


    [0] 评论
  • 7楼
    2015-08-20 12:09 天降龙虾

    理性是一种难以更改的思维习惯,所以是一种持续伤害:

    [42] 评论
  • 8楼
    2015-08-20 13:23 incons

    难以接近……这个应该叫高冷吧,没有无理数会是孤独的,因为无理数是稠密的。而且黄金分割率这么名声在外的数,说它孤独就像说某个电影明星孤独。但是处在它那个位置的数一共才有几个。0.718……比它孤独多了,因为根本没人鸟它。

    [2] 评论
  • 9楼
    2015-08-20 13:43 jswxdzc

    看到那张巴特农神庙我就笑了

    [5] 评论
  • 10楼
    2015-08-20 14:04 遗失名字的行者

    感觉大自然选择0.618只是为了省地。。。。。。。。。。。。。。

    [5] 评论
  • 11楼
    2015-08-20 15:05 q68257962

    看了这篇,我觉得在这方面,Ent 比 matrix67还是有挺大差距的。

    [手动哀求]Ent莫要封我号啊。。。。。

    [1] 评论
  • 12楼
    2015-08-20 15:16 shuxiang29

    自然界, e 曝光率甩 φ 十万条大街了

    除了e φ π, 还有其它比较好玩的数吗?

    [2] 评论
  • 13楼
    2015-08-20 16:32 Aquila_22362

    "7は孤独です"日剧《全てFになる"里的台词

    来自山寨果壳.wp
    [2] 评论
  • 14楼
    2015-08-20 17:21 WeifengChiu

    大概九年前,大一时候的一门生物相关的选修课,最后presentation我选的例子之一就是向日葵之类的种子的排列。我赞同的观点可能跟文中不太 一样,倒不是说这种形状写在基因编码里了。只要是那样生长,自然就会“挤”出这种形状来。这种形状不是生物的遗传,而是自然中的数学决定的。这么多年过去 了,不知道有没有关于这方面新的研究。

    [6] 评论
  • 15楼
    2015-08-20 17:37 林风清逸
    引用@猫加肥 的话:为什么伤害只有0.618?因为作者写的太隐晦~对没看出来的理科单身狗伤害不大~经过我的译码之后,伤害11111111111111111111...........

    你知道得太多了……

    [0] 评论
  • 16楼
    2015-08-20 17:59 一入腐门深似海

    难道只有我想到了孤独的3根号么。。


    [2] 评论
  • 17楼
    2015-08-20 18:26 我爱过果壳
    [0] 评论
  • 18楼
    2015-08-20 18:26 我爱过果壳
    引用@萌得不能再萌 的话:

    不小心发的

    [0] 评论
  • 19楼
    2015-08-20 19:01 八索

    七夕佳节,良辰美景

    我居然在果壳看这个!!!!!

    [2] 评论
  • 20楼
    2015-08-20 20:23 梦游侠

    有机会的话,希望发文谈一谈无理数e.

    [1] 评论
  • 21楼
    2015-08-20 20:57 z1w1j
    引用@一入腐门深似海 的话:难道只有我想到了孤独的3根号么。。

    孤独的根号三!

    [0] 评论
  • 22楼
    2015-08-20 21:11 我即是我

    0.518似乎有点特别,除了中间是S型其余都占满了

    [3] 评论
  • 23楼
    2015-08-20 22:00 xlm1994

    我觉得硬是给一个数字加上“孤独”这种标签本来就是无理的,感性的事情。

    看来我是注孤生了。。。

    [0] 评论
  • 24楼
    2015-08-20 23:11 小缘分
    引用@shuxiang29 的话:自然界, e 曝光率甩 φ 十万条大街了除了e φ π, 还有其它比较好玩的数吗?

    i咯

    [0] 评论
  • 25楼
    2015-08-20 23:30 we_cry 空间信息与数字技术专业 [3] 评论
  • 26楼
    2015-08-21 02:14 卅貓 建筑学专业,分形艺术小组管理员

    看图猜数

    开始我以为这篇是黄金分割教的,正准备ICBM,结果看见

    只要是1.4-1.7范围内的长方形,人们都会觉得好看。黄金率在审美上没有什么特殊之处,我们看到的只是人们企图攀附它来寻找所谓的理论依据而已。

    这就是我打倒黄金分割教的理论啊!差点打友军了!

    引用@shuxiang29 的话:自然界, e 曝光率甩 φ 十万条大街了除了e φ π, 还有其它比较好玩的数吗?

    少年,你听说过 δ 教吗

    [2] 评论
  • 27楼
    2015-08-21 02:48 小舷

    想起以前关注过一个果壳圈的高人叫点儿618,原来出处在这儿。

    [0] 评论
  • 28楼
    2015-08-21 02:56 卅貓 建筑学专业,分形艺术小组管理员
    引用@q68257962 的话:看了这篇,我觉得在这方面,Ent 比 matrix67还是有挺大差距的。[手动哀求]Ent莫要封我号啊。。。。。

    理由?

    [0] 评论
  • 29楼
    2015-08-21 08:56 律动

    圆周率不是3.14159265......吗?原文写错了啊

    [0] 评论
  • 30楼
    2015-08-21 09:07 q68257962
    引用@卅貓 的话:理由?

    对文风和措辞的感觉,只是一种感觉。

    [0] 评论

显示所有评论

你的评论

登录 发表评论

Ent
Ent 古生物学博士生,科学松鼠会成员

作者的其他文章

更多科研事,扫码早知道

关于我们 加入果壳 媒体报道 帮助中心 果壳活动 家长监控 免责声明 联系我们 移动版 移动应用

©果壳网    京ICP证100430号    京网文[2015] 0609-239号    新出发京零字东150005号     京公网安备11010502007133号

违法和不良信息举报邮箱:jubao@guokr.com    举报电话:18612934101    网上有害信息举报专区    儿童色情信息举报专区