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陶哲轩宣布破解埃尔德什差异问题

erdos Terence Tao 数论 离散数学 埃尔德什猜想

Chris Cesare 发表于  2015-09-26 22:43

(Stellasun/编译)2015年9月17日,2006年菲尔茨奖得主、华裔数学家陶哲轩宣布破解了80年未决的埃尔德什差异问题(the Erdos Discrepancy Problem),论文预印本已经发表在arXiv.org上。

埃尔德什差异问题由数学家保罗·埃尔德什(Paul Erdős)在1932年提出,指的是在任意只由1和-1组成的无限数列中,能找到项与项间等距的有限子列,使子列各项之和的绝对值大于一个任意大的常数C。和许多数论问题一样,埃尔德什差异问题描述起来很简单,但证明难度却很大。埃尔德什于1996年去世,没能看到这一问题的证明。

直觉上看,对有些数列而言,这个问题的答案非常简单——在只有1的数列中,把各项加起来一定能得到任意大的数;对无限数列(-1,1,-1,1,-1,1,...)来说,要找到一个各项之和大于2、而且间隔固定的子数列,取第二位和第四位就行;要找到各项之和大于4的子数列,可以取第二位、第四位、第六位、第八位;无论多大的数,都能在(-1,1,-1,1,-1,1)中找到加起来等于这个数的子数列。但埃尔德什的猜想是,无论这些正负1怎么排,这个结论都成立:给出一个任意大的常数,就能找到这样的数列。

这到底是什么意思呢?假设你和你的朋友玩一个抛硬币游戏。掷出正面,你往左走一步。掷出反面,你往右走一步。你知道他在硬币上做了手脚,出来正面还是反面,随心所欲他说了算。

但你也有杀手锏:你可以忽略某些硬币的结果——只不过不能瞎忽略,而是有规矩:每过固定数量的硬币就有一个算数,剩下的全不算。具体隔几个,你在结束的时候说了算。埃尔德什猜想的意义在于,虽然你最后往左还是往右你说了不算,但是你想离出发点多远,就能有多远。

陶哲轩的证明说明了埃尔德什的猜想是对的,但他并没有给出计算这个数值的方法(也就是说,具体怎么挑还不知道,但这个杀手锏是存在的)。虽然他的证明还没有经过严格的同行评议,但数学家们对他的结果很有信心。“我绝对相信他的结果,”以色列希伯来大学的数学家吉尔·卡莱(Gil Kalai)这样说道,但他随后补充道评议可能需要花上一些时间。

数学家们最近一次向这个问题发起挑战的行动始于2009年12月,并在2010年组建起了团队。来自剑桥大学的数学家蒂莫西·高尔(Timothy Gowers)建议用“博学项目”(Polymath Project)解决问题——一个数学家合作的在线平台(译注:Polymath Project还参与过对张益唐孪生素数结果的改进,详情请见《孪生素数猜想之后的故事》)。陶哲轩是几十位参与者之一。

这次合作在2012年告一段落,但数学家们证明了只要能证明埃尔德什猜想对一类数列成立,就能推广到普遍情况。这种数列是这样的:在质数项,数值是随机的,但其他项的数值是它的质数因子项上的数值的积。比如说,第十五项的数值是第三项和第五项的积。

2014年2月,研究人员们用计算机证明了埃尔德什问题的一个特殊情况——子列的和一定能大于2,但没能证明一定能大于3. 陶哲轩的证明说明了这个和一定能大于任意大的有限数。

这个证明发表后,数学家们很长一段时间来都没能取得新的进展。就在这个月初,陶哲轩在博客收到了一条评论,提醒他他正在研究的另一个问题可能与埃尔德什猜想有关。“一开始,我觉得这两个问题之间的联系只是表面的,”陶哲轩在一封电子邮件中这样写道;但他很快意识到,将新思路和之前的结果结合在一起,很可能得到问题的证明。不到两周后,他就发表了论文,并在致谢中感谢了这位评论者——图宾根大学的数学博士尤威·斯特罗斯基(Uwe Stroinski)。

陶哲轩把论文发表在了高尔管理的开源期刊《离散分析》上。《离散期刊》是9月初创刊的,它提供传统的同行评议,但由于只接受已经发表在arXiv上的论文,避免了大量的发行成本。“蒂姆(译注:指前文中的数学家蒂莫西·高尔)的期刊是对论文完全开源出版的一次前景大好的实验。”陶哲轩说。

埃尔德什和十岁的陶哲轩一起研究数学问题。图片来源:nature.com

埃尔德什在陶哲轩申请普林斯顿大学的博士项目时曾为他写过推荐信;他经常对自己提出的猜想提供现金奖励。他为解决埃尔德什差异问题设下的奖金是500美元。在他去世后,别人接管了这些奖金的颁发。

陶哲轩也被问到如果别人决定把奖金授予他,会不会真的去领奖,他的回答是:“在埃尔德什还在世的时候,传统做法是不兑现奖金支票;人们一般会把它裱起来。”(编辑:Ent)

*注:文中的比喻不一定正确,欢迎在评论中提出更严密(以及更人话)的类比……

 

拓展阅读

埃尔德什差异问题特殊情况的证明
全部评论(162)
  • 91楼
    2015-09-28 23:50 不乐主义

    有心人不妨考虑一下其实用性,也许是个方向吧。

    [0] 评论
  • 92楼
    2015-09-29 08:25 爱抚

    陶喆 宣,宣布,解决..............

    (主持人还结巴,哼)

    [0] 评论
  • 93楼
    2015-09-29 09:04 长烟一空加后缀
    引用@方弦 的话:说句不好听的,人类值得造福吗?无论多好的技术,最终只有极少数...

    所以活该那些人自生自灭,造福极少数人就好了?

    [0] 评论
  • 94楼
    2015-09-29 09:06 长烟一空加后缀
    引用@戴草帽的旅人 的话:其实这个问题我不知道是作者没描述清楚还是怎么呢,1和-1组成...

    人家猜想的是绝对值,所以-1再多,加上绝对值符号就好了

    [0] 评论
  • 95楼
    2015-09-29 09:17 gundamfire
    引用@方弦 的话:这个当然可以有,要不为啥我写那么多数学方面的科普……然而与此同时,我也宣传了很久“不要问数学家这东西有什么用”,因为很多现在做的数学目前都没什么用,而在可预见的将来会有用的也不多。这个钱花的就是在于探...

    复变是真心有用的好东西,学过自动化控制原理之类的本科生,都能脱口而出复变的用处。

    很多时候,数学本身真的没什么用,但是在解决某些数学问题的时候,一些被创造出来的数学工具,可以极大地提升某个工程领域的效率和效用。我觉得毫不夸张地说,就凭最基础的复变函数在雷达等领域的巨大的作用,就该国家持之以恒地投入科研经费了。

    但是什么是有用,什么是没用,我觉得不同的教育背景、不同的关注点的人来说,真的很不一样。同样是大学里的老师,我的英语老师宣称“科学现在已经到了大多数人都不懂的地步了,这很危险”;我的本科教电磁场的老师宣称“数学很有用,现在的很多做磁场分析的软件都用到很多数学”;我的硕士导师、一位搞自控一辈子的老先生,则坦承“我们现在自控领域还有很多障碍,归根结底就是我们缺乏一个有效的可以分析非线性状态的数学工具”。至于数学领域的人,我也只能敬仰了。

    [2] 评论
  • 96楼
    2015-09-29 09:18 lukefury

    无论怎么说,让这样的大牛去种地都是浪费,着调不着调其实无所谓,种地也不差这几个人

    [1] 评论
  • 97楼
    2015-09-29 09:25 MyEmily 语言学硕士
    引用@方弦 的话:说句不好听的,人类值得造福吗?无论多好的技术,最终只有极少数人知道它的来源和细节,而绝大多数人沉浸在用自己的钱买了个好玩意儿,如果由于他们自身的原因,将技术用到了适用范围以外,他们不会去尝试理解,而是...

    没错,民众都是鱼唇的,但是学者可以无视这些负面因素,做好自己的研究,不用局限于普通人“然并卵”的评价——否则科学研究将失去多少想象力和动力啊……

    其实民众最大的问题不是蠢,而是“想达到某些实用的目的因此想获得某些所谓实用的方法”,因此鄙视那些能够用思想构造理论基石的学者,还自以为很高明。这是反智的傲慢。

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  • 98楼
    2015-09-29 09:28 MyEmily 语言学硕士
    引用@阴月 的话:是的,做数学的人不关心,所以我关心。谢谢解释。

    你的原文是“然这个理论的实际用处在哪”,而不是“这个理论可以有哪些实际用途”。这其中语气和遣词的差别,我们能读出来的。

    [0] 评论
  • 99楼
    2015-09-29 09:39 messiah86

    其实有很多纯理论数学,特别是数论,跟现代商业竞争关系十分密切,很多数学模型几乎都可以直接拿来用在研究商学经典案例上,所以说这种数论没什么用的,以后说不定开拓一种新的商业模式就是基于这个数论研究的呢

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  • 100楼
    2015-09-29 10:07 雷穆斯

    一个习惯性调侃的侃爷碰上了一个中二病,于是就撕起来了……

    [0] 评论
  • 101楼
    2015-09-29 10:38 东方隐月
    引用@Royx85 的话:也不能这么说,其实你发现没有,科学的革新感觉间隔是越来越短了。或许之前的研究发挥作用是几百年的间隔,说不定现在是几十年或十几年。

    这是经验主义

    就好像如今我们都觉得“未来一定比现在好”

    长远来看,并非如此~

    [1] 评论
  • 102楼
    2015-09-29 10:55 虐鸡狂魔

    有一些东西是不应该过多地讲求回报的,你不应该要求它们长出漂亮的叶子和花来,因为它们是根。

    [2] 评论
  • 103楼
    2015-09-29 11:18
    引用@Emiya_Shaw 的话:您这地图炮开的好啊,

    我就是一工程师,不过我觉得他说的对呀~!

    [1] 评论
  • 104楼
    2015-09-29 11:39 rrrrr5r

    看图片好感动啊,后人接过前人的火炬,解决其遗留的疑问并把光明传递下去。

    [0] 评论
  • 105楼
    2015-09-29 12:24 newton_grc
    引用@Royx85 的话:也不能这么说,其实你发现没有,科学的革新感觉间隔是越来越短了...

    不是这样的,拓扑流形这些已经用的非常多了,不光是在广义相对论这些里面,凝聚态很多新的理论模型也都在用,而且就连经济学的前沿也用到了大量的拓扑的定理来证明。现在搞理论的苦恼在于数学工具都不够用,就像搞实验的抱怨设备不好一样。

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  • 106楼
    2015-09-29 12:30 FlameSpark
    引用@阴月 的话:然这个定理的实际用处在哪?

    这个定理让我们对自然数集的认识更加深刻,同时也解释了很多有趣的性质.事实上大多数数学问题都是简明的 攻克一个定律的困难之处在于以坚实的公理体系和完善的逻辑架构搭建起来这个定理.所以说,重要问题的解决不仅仅是数学界的荣誉,更在于我们更加肯定了我们自己的能力、我们见证了人类思维的伟大,以至于因此我们得以有自信在这个残酷的自然之中生存下去并且改变这个世界,树立我们自己的尊严.

    [0] 评论
  • 107楼
    2015-09-29 12:34 FlameSpark
    引用@gundamfire 的话:复变是真心有用的好东西,学过自动化控制原理之类的本科生,都能...

    是啊是啊,对于那些对这个世界的认识还停留在定性的水平的人,微分几何能有什么用呢.位置决定高度啊

    [2] 评论
  • 108楼
    2015-09-29 12:46 毛皮马甲
    引用@方弦 的话:没什么实际用处,您满意了吗?或者说,大部分干数学的人基本上都不会想到自己做的事情会有什么实际用处。英国数学家哈代甚至对这一点非常骄傲。一开始就想有什么实际用处的人,去做工程就好了。

    哎,很久不来果壳了,看看现在评论区也是越来越“笑点低”化了,我觉得现在我还是有必要说些什么了。

    “三个自信”是指道路自信、理论自信、制度自信

    陶哲轩证明埃尔德什差异问题,就是在理论上证明了,社会主义路线一定是可以达到预期目标的,在数学领域验证了”三个自信“。

    数学模型简化了思考,数列中的正负一代表了在实际问题中遇到的正能量和负能量,但是只要选择合适的选取方式就一定能达到某个预定目标,不管数列是怎样的,就像无论世界局势多么复杂多变,大资本主义阵营如何扰乱增加数列的复杂度,只要我们选择好选取方式就一定能实现中国梦。

    当然理论毕竟是理论上,现实环境数列复杂多变,选择选取方式仅仅依靠”与时俱进“是很难实现的,这一点相信陶哲轩应该也是深有体会的,但是我党高瞻远瞩已经在实践理论上提出了”社会主义生态文明“的选取方式,这是领先世界的,具有指导意义的,现实永远是超前于理论的,虽然现在在数学上仅仅是刚刚验证了埃尔德什差异问题,而且可能需要进一步同行审议。但是我国已经在实践中发现了有效的选取方式,如果陶哲轩能潜心学习我党的”生态文明“经验,应该是可以启发数学问题的解决的。

    ps:希望你们不要打我。你们有没有发现奖金为什么是五百而不是四百或者六百吗?难道不是预示着什么吗?我觉得我的这一番论述拔高了我党实力的披露水平,应该抄送各部位深入学习研究的。

    我是感受到五毛山的召唤而写下这些东西的,写这些的不是我而是五毛山。——五毛尊者。

    所以你们不要打我,美分也要提高自己的知识水平了,君子动口不动手。

    天佑中华

    [1] 评论
  • 109楼
    2015-09-29 14:03 幼发拉底

    陶的证明看不懂,有人能深入浅出地讲解一下吗

    [0] 评论
  • 110楼
    2015-09-29 16:21 方弦 科学松鼠会成员,信息学硕士生
    引用@阴月 的话:有一种病叫“他们要害我”。

    那也请您想一下,如果一个数学家,天天被人问“你做的东西有什么用”,老实回答没什么用之后就被各种嘲笑。然后他走在路上,突然有人问他“你做的东西有什么用”,你猜他的反应是什么?

    [0] 评论
  • 111楼
    2015-09-29 16:53 方弦 科学松鼠会成员,信息学硕士生
    引用@阴月 的话:有一种病叫“回答没什么用他们会嘲笑我”。

    不好意思,这是一种真实存在的现象,不是一种病。看你的样子,做的应该是TCS或者CS或者EE,大概平时从来没有遇到过这些人吧。

    [0] 评论
  • 112楼
    2015-09-29 17:06 方弦 科学松鼠会成员,信息学硕士生
    引用@阴月 的话:至少我接触的从神经兮兮的和平心理学者到一字都会认错的文盲,从杀猪的莽汉到达索的设计师,这么一大群人里虽然大部分都不知道数学家到底在玩个什么,却有一个一致性是虽不明但觉厉,断然不敢嘲笑。反倒是接触这一行...

    在国外?那的确稍微好些,毕竟没那么向钱看。

    陌生人?那的确也稍微好些,心里实际上想什么也不会告诉你。

    最痛的刀都是身边人插的。从高考报志愿开始,到研究生博士生选专业,数学系的同学大体都会被身边人劝过转专业,转到金融或者计算机,你猜那些人的论点是啥?

    你随便问一个人数学好不好,他当然不明觉厉满口称赞。你试试劝说让TA孩子高考的时候读纯数学,然后你就知道他心里是怎么想的了。

    [0] 评论
  • 113楼
    2015-09-29 17:17 方弦 科学松鼠会成员,信息学硕士生
    引用@阴月 的话:在我大学以及后来呆学校的阶段,数学系给人的感觉就是高攀不起,脑子里有个宇宙在转,没见过有人去嘲笑,本人也有混纯数学的朋友,人各有志互相尊重是原则。实际上,总劝人转专业的自己才有问题,他连学科关联性的基...

    身边人有可以自己选择的,有不能自己选择的。自己不能选择的那些才是问题。

    数学系的同学大概经常遇到这样的事情:亲友聚会,好好吃着饭,一个亲戚问起现在在读什么,有什么用,回答完之后,这位亲戚立刻提起他认识的一个朋友的孩子读金融现在月入过万,还问为什么不去读金融。会怎么想?

    这种还算好的情况。如果这个亲戚是父母,那更糟糕。

    [0] 评论
  • 114楼
    2015-09-29 17:20 方弦 科学松鼠会成员,信息学硕士生
    引用@阴月 的话:慢悠悠地说,他们做金融的基础就是我们的数学模型。秒之。

    你以为有用吗?他们的论点不是金融,而是“月入过万”。

    基本上,学纯数学的人,都或多或少遇到过这样的事情,有轻有重。

    [0] 评论
  • 115楼
    2015-09-29 17:22 方弦 科学松鼠会成员,信息学硕士生
    引用@阴月 的话:或者直接一句话冷场:关我毛事。

    那如果是高考填志愿表前夕,这位亲戚是父母之一呢?

    [0] 评论
  • 116楼
    2015-09-29 17:25 方弦 科学松鼠会成员,信息学硕士生
    引用@阴月 的话:或者直接一句话冷场:关我毛事。

    而且,这里不是处理方法的问题。每个人也许都有各自的处理方法,但这种对数学的态度,才是最伤人的。这就是扒去一切伪装之后,一般人对数学的真实想法。如果在数年间,长时间被这种态度包围,人会产生什么反应,也是可想而知的。

    [0] 评论
  • 117楼
    2015-09-29 17:38 方弦 科学松鼠会成员,信息学硕士生
    引用@阴月 的话:任何学科都会遇到这种问题。学金融的隔壁还会遇到个学经营的月入几百万,而学经营的还有个潜在对手是初中没毕业就出来开公司现在是地区首富的别人家孩子。

    你没有理解,这不是别人家孩子的问题,而是“你不是说比他聪明吗怎么连这点钱都赚不到”的问题。

    现在的教育模式,的确如果家庭反对搞数学,那么没有可能进数学系,所以我才说父母之一。但进了数学系,不可避免的就是一方长时间的埋怨。他们的确不懂,但不妨碍他们的话语。而且有的父母,支持进数学系的原因就是可以转金融。

    从外面世界看总是容易的。只要坚强,只要专注,这些闲话也许可以不听。但并非所有人一开始就有着足够坚强的心灵。最亲近的人的话语最伤人,也是在漫长岁月的伤害中,心肠才会硬起来。但这并不代表过去的伤痛就消失了。这些东西,也许不是设身处地就难以理解吧。

    [0] 评论
  • 118楼
    2015-09-29 17:48 MyEmily 语言学硕士
    引用@阴月 的话:在我大学以及后来呆学校的阶段,数学系给人的感觉就是高攀不起,脑子里有个宇宙在转,没见过有人去嘲笑,本人也有混纯数学的朋友,人各有志互相尊重是原则。实际上,总劝人转专业的自己才有问题,他连学科关联性的基...

    我学数学的盆友好多都去写代码了哈哈哈~其实内在是有联系的。

    [0] 评论
  • 119楼
    2015-09-29 17:49 会打字的小猪
    引用@方弦 的话:说句不好听的,人类值得造福吗?无论多好的技术,最终只有极少数人知道它的来源和细节,而绝大多数人沉浸在用自己的钱买了个好玩意儿,如果由于他们自身的原因,将技术用到了适用范围以外,他们不会去尝试理解,而是...

    降临派领袖

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  • 120楼
    2015-09-29 17:51 方弦 科学松鼠会成员,信息学硕士生
    引用@阴月 的话:或者说,你觉得数学系是最特殊的,但是你想过在中国坚持画漫画的人的感觉吗?我给我朋友打电话聊天的时候听筒里从来都是他那啥事都不干的老娘的抱怨。搞数学的好歹混个聪明,你觉得他能混个啥?

    我不觉得数学系最特殊。每个学科大抵有各自的痛点,而数学系的就是“这东西有什么用”,因为接下来的话我们都很清楚。就像动漫的痛点大概是“这东西不是给小孩子看的吗”。我能理解他人可能不想听到的一些话,也理解他们根本不应该获得这样的评价,对他们的选择持以最大的尊重。

    那么,希望他人以同样的方法对待自己,这大概就是你眼中视作不应该的吧。

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Chris Cesare
Chris Cesare Chris Cesare是《自然》杂志的实习记者。

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