A4纸为什么是使用最广泛的打印纸？
A4纸可以说是除了手纸以外，我们用得最多的一种纸了，尤其是在学生时代，打印复习资料啊、写个情书啊、叠个千纸鹤啊……
A4纸不光在打印界混的风生水起，在前几年，还跑到时尚圈跨界了一把，一时之间，“A4腰”成为了评判人们身材的标准，A4纸在时尚圈风光无限。
想知道身材好不好，看看有没有有A4腰丨BBC.com
不过，可能很多人对A4纸的出现还是很心生疑问，为什么人们爱用A4纸？
A4纸能备受喜爱，可能与它给人类客户的“服务精神”有关：低调、不张扬，却给“客户”极致的使用体验。
A4纸丨123rf.com.cn正版图片库
A3裁两半，变A4
A4纸是生活中最常用的纸规格。A系列的纸张规格特色在于：
1.A0、A2、A3、A4、A5，所有尺寸的纸张长宽比都相同。
2.在A系列纸中，前面序号的纸対裁后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如A0对裁后可以得到2张A1，A1对裁可以得到2张A2，依此类推。
这两项特色让A系列规格的纸张非常好用，画在A4纸上的图画可以等比例放大到A0海报上。手边只要有某一款A系列的纸，即能做出任意大小的A系列。这是A系列纸张特殊的长宽比——利希腾贝格比例的特殊比例√2：1，才能带来这种特性。
举实际的数字给各位看：
A0是84.1厘米×118.9厘米118.9/84.1=1.41；
A4是21厘米×29.7厘米 ，29.7/21 =1.41；
A5是29.7/2 = 14.8厘米×21厘米，21/14.8= 1.41。
我们可以发现，这些比例都趋近于√2。
换句话说，我们都享用了利希腾贝格比例的好处，却很少人知道利希腾贝格比例是什么，某种程度上，这就是最极致的体贴，让人享用到它的好，却察觉不到它的存在。
嗯，我不是在讲女性用品广告台词，虽然两者间很相似（以每一种距离来说都是）。
躲在A4里面，还有更了不起的比例
黄金比例1.618可以称之为比例之王，不管从Google搜寻或被应用的范围来说，他都是最常见的比例。不过，事实上还有类似黄金比例的比例，和利希腾贝格比例一样隐藏在A4纸里面。
许多建筑都运用了黄金比例丨geogebra
这个比例的名字刚好跟《圣斗士星矢》里圣斗士的阶级相同，是黄金圣斗士之下的白银圣斗士，不，白银比例——2.414。只要以A4纸的短边为边长，划出一个正方形并裁掉，剩下长方形的长宽比即是白银比例。我们可以验证一下，A4纸的长宽比是√2：1，用短边划出正方形并裁掉后，剩下长方形的长宽比将会是1: [√2：1] = 2.414。
我们也可以把白银比例表示成√2+1，它和(1+√5)/2的黄金比例有许多相似之处。例如，他们都和某个数列有关。
先前介绍过黄金比例和费波那契数列：
1、1、2、3、5、8、13、21……
后一组数字除以前一组数字，便可以得到近似于黄金比例的比值。
白银比例则用上了佩尔数列：
1、2、5、12、29……
拿前后两组数字相除，可以得到2、2.5、2.4、2.41、…越来越接近白银比例2.414。我们可以用图形的方式来解释，为何费波那契数列和佩尔数列中产生黄金比例或白银比例。
首先，费波那契数列的第n组数字是前两组数字的和，意即Pn = Pn-1 + Pn-2，例如21=8+13。
佩尔数列的第n组数字前一组数字的两倍加上再前一组数字，意即Pn = 2Pn-1 + Pn-2。例如29=12×2+5。
再将费波那契跟佩尔数列的递归表示法除以Pn-1，可以得到：
Pn/ Pn-1 = 1+ Pn-2/ Pn-1。
Pn/ Pn-1 = 2 + Pn-2/ Pn-1。
第一个式子表示，大的黄金比例长方形是一个正方形加上一个小黄金比例的长方形。
第二个式子则是，大的白银比例长方形可以由两个正方形，加上一个小的白银比例长方形组合而成，如下图所示。
图示由作者提供。
白银比例的服务精神
利希腾贝格比例让纸张的使用更加便利，黄金比例跟白银比例的用途更广泛，其中之一是在艺术上的贡献。
例如下面的绿色菱形，对角线的长宽比刚好是白银比例，因此可以用方才的几何规则“两个大的加一个小的”，将三个这样的菱形，其中两个横放，三个并排，制造出一个等比例放大的蓝色菱形，放大的比例刚好是白银比例。
图示由作者提供。
这种特殊的菱形与正方形，是下图复杂的伊斯兰风格拼贴镶嵌的基本元素。
图示由作者提供。
比起一般地板磁砖的正方形，或蜂巢状的六角形镶嵌，这种镶嵌更华丽美观。这么复杂的镶嵌，除了基本构成的菱形需要白银比例，镶嵌过程也需要用上白银比例，最后构成的众多正八边形里，依然也有白银比例。
可以看见，白银比例一样提供了最佳的服务，让使用者察觉不到，却因为它获益良多。最起码豪宅里使用了这种镶嵌技术的土豪一定不知道背后有白银比例，不然他铁定会把设计师叫过来臭骂一顿：
“为什么不用黄金比例，要用白银比例呢？！”
有噢，有黄金比例的镶嵌，称之为彭罗斯拼图，数学可是最有服务精神，服务最周到的科学了。
作者： 賴以威
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