数学

数学常数e的含义

数学常数自然对数e是什么意思?

阮一峰 发表于  2011-07-12 13:53

e是一个重要的常数,但是它的直观含义却不像π那么明了。我们都知道,圆的周长与直径之比是一个常数,这个常数被称为圆周率,记作π=3.14159…,可是如果我问你,e代表了什么,你能回答吗?

不妨先来看看 维基百科 是怎么说的:

“e是自然对数的底数。”

但是,你去看“ 自然对数 ”这个条目,得到的解释却是:

“自然对数是以e为底的对数函数,e是一个无理数,约等于2.718281828。”

这构成了循环定义,完全没有说e是什么。在这种情况下,数学家选择这样一个无理数作为底数,还号称这种对数很"自然",这难道不是一件很奇怪的事情吗?

e是增长极限

到底什么是e?简单说来,e就是 增长的极限

下面这个例子就是对e直观含义的极好诠释:

某种类的一群单细胞生物每24小时全部分裂一次。在不考虑死亡与变异等情况下,那么很显然,这群单细胞生物的总数量每天都会增加一倍。据此我们可以写出它的增量公式:

growth= 2 x x表示天数

这个式子可以改写成如下的样子:

growth= (1+100%) x 其中,1表示原有数量,100%表示单位时间内(24小时)的增长率。

 

根据细胞生物学,每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,平均会新产生一半原数量的新细胞,新产生的细胞在之后的12小时内已经在分裂了。

因此一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段的细胞数量都在前一个阶段的基础上增长50%:

/gkimage/uw/dx/dz/uwdxdz.png

即在一个单位时间内,这些细胞的数量一共可以增至为原数量的2.25倍。

倘若这种细胞每过8小时就可以产生平均1/3的新细胞,新生细胞立即具备独立分裂的能力,那就可以将1天分成3个阶段,在一天内时间细胞的总数会增至为:

/gkimage/cu/hb/iq/cuhbiq.png

即最后细胞数扩大为2.37倍。

实际上,这种分裂现象是不间断、连续的,每分每秒产生的新细胞,都会立即和母体一样继续分裂,一个单位时间(24小时)最多可以得到多少个细胞呢?答案是:

/gkimage/k1/lj/i3/k1lji3.png

当增长率为100%保持不变时,在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828倍。 数学家把这个数就称为e,它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值

这个值是自然增长的极限,是“自然律”的精髓所在,因此以e为底的对数,就叫做自然对数。

/gkimage/8j/iv/d7/8jivd7.png

你不会自成“大款”——到e为止

有了这个值以后,计算银行的复利就非常容易。

假定有一家银行,每年的复利是100%,请问存入100元,一年后可以拿多少钱?

答案是:

/gkimage/sl/5a/eo/sl5aeo.png

但是事实上,存储利息没有这么高,如果复利率只有5%,那么100元存一年可以拿到多少钱呢:

/gkimage/is/4d/cr/is4dcr.png

我们知道,在100%利息率的情况下,n=1000时,下式的值非常接近e:

/gkimage/sf/wm/oq/sfwmoq.png

为了便于思考,取n等于50:

/gkimage/71/vg/cc/71vgcc.png

当利息率是5%时,存款增长率就相当于e的20分之一次方:

/gkimage/qs/ke/ku/qskeku.png

1/20正好等于5%,所以我们可以把上式改写成:

/gkimage/g7/r2/tt/g7r2tt.png

rate表示利率。

再考虑时间因素,如果存款年限t年,那么存款最终增长率为:

/gkimage/cs/5o/6m/cs5o6m.png

这说明e可以用于任何连续不断的复合式增长率的计算,而上式也是这个增长率的通用计算公式。

带着这个结论再回到上面的例子。如果银行的利息率是5%的复利,求解100元存款翻倍需要多少时间就等价于解下面的方程:

/gkimage/o5/1p/qp/o51pqp.png

计算结果得13.86年:

/gkimage/wt/d6/r8/wtd6r8.png

可以看到:用72除以增长率就是翻倍的大致时间。这正是经济学上著名的72法则。

 
编者按:e是“指数”(exponential)的首字母,也是欧拉名字的首字母。和圆周率π及虚数单位i一样,e是最重要的数学常数之一。第一次把e看成常数的是雅各布•伯努利,他开始尝试计算lim(1+1/n) n 的值,1727年欧拉首次用小写字母“e”表示这常数,此后遂成标准。

本文来源: 阮一峰的网络日志

原文出处: http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/

热门评论

  • 2011-07-12 17:11 snail

    最后一步, 69.3直接就约等于72了, 困惑中

    [21] 评论
  • 2011-07-12 14:00 薄荷耳朵

    初中的时候老师提到过e,那时就一直很疑惑,这样一个数字能有什么用。

    [20] 评论
  • 2013-04-24 08:15 翀浪
    引用@艾拉克 的话:复利的例子难以理解阿。怎么可能这样算,应该就是a(1+I )^n 阿,为什么利率要除以n,不懂。

    这里总存钱时间是定值。举个例子:年利率100%,存1年,1元钱最多能变成多少?
    如果存满1年,也就是n=1,那么1年后,
    1*(1+1/1)^1=2,1元变成2元;
    如果半年一存,让这半年的利息在下半年也生利息,也就是n=2,存满1年后,式子应该写作
    1*(1+1/2)^2=2.25,1元变成2.25元,比第一种存法划算;
    如果一个季度一存,每个季度的利息在后面的时间里也生利息,也就是n=4,式子写作
    1*(1+1/4)^4 =2.44140625,比第二种存法还划算;
    看上去,存的次数越多,每次存期越短,1年到期时的利息越多。但是数学告诉你,这个利息不是无限增加的,随着存的次数增多,1年后的本息合计趋于一个极限,也就是文中所提到的e。也就是说,在年利率为100%的情况下,不管你存得多么勤快,1年后1元钱最多变成e=2.71828182845904523536...元钱。

    [14] 评论

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全部评论(170)
  • 1楼
    2011-07-12 14:00 薄荷耳朵

    初中的时候老师提到过e,那时就一直很疑惑,这样一个数字能有什么用。

    [20] 评论
  • 2楼
    2011-07-12 14:04 jaharpan

    同上!

    [0] 评论
  • 3楼
    2011-07-12 14:42 李子李子短信 社科硕士,博物馆爱好者,果壳作者

    同上!!!

    [0] 评论
  • 4楼
    2011-07-12 14:46 Ekoms 数学/化学爱好者

    在M67的博客上可以看到各种问题的答案都莫名其妙地和e有关……

    [0] 评论
  • 5楼
    2011-07-12 15:03 Unic豆

    哇噻 老早就对e 感兴趣了 无论是重要极限还是无穷级数 泰勒级数 甚至统计学上也会有它的影子
    不过 单就此文感觉还是没说透啊...
    挠头挠头ing!

    [2] 评论
  • 6楼
    2011-07-12 15:09 elton

    那到底为什么自然对数要用e呢?

    [0] 评论
  • 7楼
    2011-07-12 15:10 百变猩菌 勘查技术与工程专业

    原来如此啊...终于有点知道e的含义了!!

    [1] 评论
  • 8楼
    2011-07-12 15:12 Sheldon 理论物理博士,科学松鼠会成员

    扒稿威武!书上的定义比较抽象,此稿甚好

    [0] 评论
  • 9楼
    2011-07-12 15:19 HX

    力荐后看.

    [0] 评论
  • 10楼
    2011-07-12 15:29 黑贝壳

    感觉是没太说透,要不你再举几个工程里面应用的例子?

    [1] 评论
  • 11楼
    2011-07-12 15:53 乐章

    科普了~~

    [0] 评论
  • 12楼
    2011-07-12 15:54 Moomle2.0

    确实如张景中的科普书一般举了复利的例子,编者应该提提e^iπ=1

    [0] 评论
  • 13楼
    2011-07-12 15:55 艾斯昆 程序员,科幻迷
    引用HX的回应:力荐后看.

    完全木有看懂啊……

    [1] 评论
  • 14楼
    2011-07-12 15:56 把学姐的内裤穿在头上

    没说透啊。。两个例子其实差不多。
    e的来源是为了选一个数作为对数尺的底 因为性质好弄出来的一个常量。后来被发现了各种性质。。
    话说e真是个神奇的常量啊 跟pie一样出现在各种古怪的地方

    [1] 评论
  • 15楼
    2011-07-12 16:07 方弦 科学松鼠会成员,信息学硕士生

    我个人还是比较喜欢这个定义:f(1)/f(0),对于满足df/dx=f的非零函数f。

    然后写成幂级数,再开拓到复数域上,那就很多性质都有了~~~

    [0] 评论
  • 16楼
    2011-07-12 16:29 Mancunian16

    建议增加"转帖到Google+"

    [0] 评论
  • 17楼
    2011-07-12 17:00 啊哈哈哈捞星星
    引用秦时明月2.0的回应:确实如张景中的科普书一般举了复利的例子,编者应该提提e^iπ=1

    对啊,感觉欧拉公式比较常用的吧

    [0] 评论
  • 18楼
    2011-07-12 17:11 snail

    最后一步, 69.3直接就约等于72了, 困惑中

    [21] 评论
  • 19楼
    2011-07-12 18:21 Jay.f

    神马 作者居然不是Matrix67?这什么情况?

    [0] 评论
  • 20楼
    2011-07-12 18:23 吴师傅 数学专业
    引用snail的回应:最后一步, 69.3直接就约等于72了, 困惑中


    金融学上有所谓的72、71、70、69.3法则,用于估计倍增或者减半的时间。使用72是因为它有比较多的因子,容易被整除。不过,就增减率与时间的问题,其他数值会较为合适一些。

    [6] 评论
  • 21楼
    2011-07-12 18:25 吴师傅 数学专业
    引用J.f的回应:神马 作者居然不是Matrix67?这什么情况?

    这是神马逻辑?

    [0] 评论
  • 22楼
    2011-07-12 18:43 Coprime
    引用J.f的回应:神马 作者居然不是Matrix67?这什么情况?


    你在吐槽M大发文太多了么。。。

    [0] 评论
  • 23楼
    2011-07-12 18:45 四龙

    感觉很多性质没说到 等待续稿啊

    [0] 评论
  • 24楼
    2011-07-12 18:57 __子实__

    e^(iπ) == -1

    [0] 评论
  • 25楼
    2011-07-12 19:11 黑夜assassin

    算法我是理解了,但是总感觉这个说明还差点,果壳的文章应该更加大众化一点,不是简单化的意思,而是说要解释得更详细

    [0] 评论
  • 26楼
    2011-07-12 19:14 ad590

    为什么不是69.3法则

    [0] 评论
  • 27楼
    2011-07-12 19:16 笑风尘

    好文

    [0] 评论
  • 28楼
    2011-07-12 19:27 Ekoms 数学/化学爱好者
    引用秦时明月2.0的回应:确实如张景中的科普书一般举了复利的例子,编者应该提提e^iπ=1


    同学你写错了。

    这也是我支持立tau废π的原因~~~~

    [0] 评论
  • 29楼
    2011-07-12 19:37 Cerberus

    终于明白鸟!困扰多年的问题!

    [0] 评论
  • 30楼
    2011-07-12 20:10 zju_emanon

    个人感觉本文还是没有阐释清楚e...至于那两个极限,实在不足以说清楚啊...

    [0] 评论

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