观点 数学

神秘的本福特定律

physixfan 发表于  2010-10-31 21:25

统计一下世界上237个国家的人口数量,你觉得其中以1开头的数会占多大比例,而以9开头的数又占多大比例呢?如果你的回答是都为1/9,恭喜你你是正常人,但是事实却不是如此:以1开头的数惊人的占到了27%,而以9开头的数却只占5%。下图可以很形象的展示出在各国人口数量问题上,以各个数字开头的数占了多大的比例(图片来自维基百科)。为什么会相差这么大呢?这正是神秘的本福特定律在起作用。

本福特定律,也称为本福德法则,说明一堆从实际生活得出的数据中,以1为首位数字的数的出现机率约为总数的三成,接近期望值1/9的3倍,推广来说,越大的数字,以它为首几位的数出现的机率就越低;精确地数学表述为:在b进位制中,以数n起头的数出现的机率为logb(n + 1) − logb(n)。

在十进制中,首位数字出现的概率为:

d 1 2 3 4 5 6 7 8 9
p 30.1% 17.6% 12.5% 9.7% 7.9% 6.7% 5.8% 5.1% 4.6%

这个定律的发现,据说是因为本福特在翻对数表的时候发现前面几页被翻得很黑很破烂,越往后越颜色越浅。由此他想到会不会是1开头的数字就是比其他数多,他统计了一下发现果然如此。其实这个对数表的事情真假难辨了,就像是牛顿说自己是被苹果砸到了头才发现的万有引力定律一样,只要最后的定律有用就可以了。

首先说明一下本福特定律的适用范围

这个定律是一个非常神奇的定律,它的适用范围异常的广泛,几乎所有日常生活中没有人为规则的统计数据都满足这个定律。比如说世界各国人口数量、各国国土面积、账本、物理化学常数、数学物理课本后面的答案、放射性半衰期等等数据居然都符合本福特定律。值得一提的是,科学家还发现,统计物理的三个重要分布,Boltzmann-Gibbs分布,Bose-Einstein分布,Fermi-Dirac分布,也基本上满足Benford定律!(来源:李淼的 博客

其次这个定律毕竟还是有适用范围的

第一,这些数据必须跨度足够大,必须横跨好几个数量级才能产生这个结果。

第二,有人为规则的数据就不满足次定律,比如说手机号码、身份证号、发票编号等数据,明显不满足这种对数分布律。也就是说,本福特定律正是没有任何限制才显露出来的定律,越是对数据的产生有人为限制,越是不满足该定律。第三,数据不能经过人为修饰,随便人为修改的数据一般就不满足本福特定律了,比如当年著名的安然公司造假案,他们的账本就没有满足本福特定律,因此这个神秘的定律甚至可以用来判别是否财务造假。

那么到底该如何理解这个神秘的定律呢?为何自然产生的数据会满足这么奇特的一个定律,而不是均匀分布呢?

本福特定律产生的根源,就在于指数增长。这幅图可以直观的显示,如果一个变量随时间成指数增长的话,那么这个变量开头的数字随着时间的变化就应该是如下图:(横轴代表时间,纵轴代表那个变量)

/gkimage/ly/yj/5a/lyyj5a.png

显然,在某时刻你得到它以1开头的概率要大于9开头。而这是只取一个值的情况,如果是取大量的数据的话,在某时刻你观察到他以1开头的数据数量就大于以9开头的数量了。而指数增长的形式在自然界是十分普遍的,只要一个变量的增长率和他的大小成正比,结果就会是指数增长。比如说人类科技发展的速度大致和已有的科技成果成正比,所以人类的科技发展就是个指数增长;人口增长率会和已存在人口数成正比,因此没有资源限制的人口增长也是指数增长。指数增长是自然中极为普遍的一种变化规律,而这种变化规律可以直接导致本福特定律。

另外一种直观的解释(来自维基百科)是这样的

从数数目来说,顺序从1开始数,1,2,3,…,9,从这点终结的话,所有数起首的机会似乎相同,但9之后的两位数10至19,以1起首的数又大大抛离了其他数了。而下一堆9起首的数出现之前,必然会经过一堆以2,3,4,…,8起首的数。若果这样数法有个终结点,以1起首的数的出现率一般都比9大。

就以一个城市的所有门牌号为例,有的街道门牌号可能在100多就结束了,有的在500多结束,有的在900多结束。注意到500多结束那条街一定包含了1、10+和100~199这些1开头的门牌号,而不包含9开头的百位数,只包含9及90+的以9开头的数,这样一来明显以1打头的就多于9打头的了。然后对整个城市的所有街道做一个综合,最终就满足本福特定律了。

以上只是直观的理解,如果想深究它的根本原理,可以参见它的证明

Hill, T. P. “A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law.” Stat. Sci. 10, 354-363, 1996.。

另外,值得一提的是,本福特定律满足尺度不不变性,即如果我们换一套单位制,本福特定律仍然成立。其实,这也可以作为大自然产生的统计数据满足该定律的一个解释:如果我们把原来的单位是米的统计数据换一个单位,例如换成英尺或者公尺,那么统计数据的分布应当不变。而唯一满足这种尺度不变性的分布,应当是某种对数分布,也就是本文的主角本福特定律。

热门评论

  • 2013-08-08 03:22 歇洛克波洛
    引用@科学帝 的话:全反对本福特定律就像文章举例的,居然用国家人口数首位,你难道不知道地球上小国超多,大国手指都数的过来吗?在千万级别里,1千万肯定最多,然后依次降低,上亿的我记得只有6个你敢不敢统计人口的第2第...

    你真的看明白这篇文章讲了些什么吗→_→如果你觉得你可以完美驳斥本福特法则的话,发篇Sci吧

    [6] 评论
  • 2011-11-13 20:58 数值解241
    引用蓝博的回应:对于二进制的世界 这个还管用吗?

    管用的,很显然,二进制中,以1开头的数占100%。
    而按照本福特定律,二进制中,以1开头的数占ln2/ln2-ln1/ln2=100%。
    完全符合。

    [5] 评论

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全部评论(38)
  • 1楼
    2010-11-17 16:15 reddot

    看晕了。。。

    [2] 评论
  • 2楼
    2010-11-21 14:25 biohu

    用来判断造假。。。。
    不错。。。

    [0] 评论
  • 3楼
    2010-11-24 18:17 Nebulium

    这个定律很厉害。。。

    [0] 评论
  • 4楼
    2010-11-25 23:00 赛赛
    引用 biohu 的回应:用来判断造假。。。。
    不错。。。

    也是我首先想到的

    [0] 评论
  • 5楼
    2011-02-01 21:50 独钓云海

    这个…太霸气了

    [0] 评论
  • 6楼
    2011-03-10 13:23 唯心主义

    其中以1结尾占多大比例,而以9结尾的数又占多大比例呢?回答是都为1/9?

    [0] 评论
  • 7楼
    2011-04-27 16:04 飞翔的矜持
    引用唯心主义的回应:其中以1结尾占多大比例,而以9结尾的数又占多大比例呢?回答是都为1/9?

    如果排序是由1到9,意思是像门牌号那样一个一个接下去的话,本福特定律;
    如果所有排序数字随机界定,就是1/9.

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  • 8楼
    2011-07-15 17:05 Moooyu

    这个太有用了。以后判断是否是伪造数据就这个了。

    [1] 评论
  • 9楼
    2011-07-16 07:43 乔瑭

    买彩票适用吗

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  • 10楼
    2011-07-16 09:00 Tick Tock

    请问有谁知道这个定理的严格证明吗(至少能直接推出logb(n+1)-logb(n)这个式子)?

    [1] 评论
  • 11楼
    2011-07-16 17:34 林克

    "而唯一满足这种尺度不变性的分布,应当是某种对数分布"好像不只对数分布满足把

    [0] 评论
  • 12楼
    2011-07-17 14:39 Mr.Sciam

    我看晕了...

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  • 13楼
    2011-07-20 18:34 狼友友

    我感觉只要是类似指数不收敛的分布,这个定律都适用!

    引用林克的回应:"而唯一满足这种尺度不变性的分布,应当是某种对数分布"好像不只对数分布满足把
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  • 14楼
    2011-08-28 20:00 数学疯子

    这个还是很有用的

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  • 15楼
    2011-10-29 15:03 蓝博

    对于二进制的世界 这个还管用吗?

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  • 16楼
    2011-11-05 21:45 杜连魁

    很激动……
    数学奥秘。

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  • 17楼
    2011-11-13 20:58 数值解241
    引用蓝博的回应:对于二进制的世界 这个还管用吗?

    管用的,很显然,二进制中,以1开头的数占100%。
    而按照本福特定律,二进制中,以1开头的数占ln2/ln2-ln1/ln2=100%。
    完全符合。

    [5] 评论
  • 18楼
    2011-11-30 10:04 匹马西风

    买彩票去喽!!!!!!!!!!!

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  • 19楼
    2012-01-22 23:12 科学帝

    完全反对本福特定律
    就像文章举例的,居然用国家人口数首位,你难道不知道地球上小国超多,大国手指都数的过来吗?
    在千万级别里,1千万肯定最多,然后依次降低,上亿的我记得只有6个
    你敢不敢统计人口的第2第3第4位数字,若还符合那狗屁本福特定律我马上当众自切

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  • 20楼
    2012-01-22 23:14 科学帝

    谁都懂万物都是小的多,根本不用编个什么鬼本福特定律来告诉我这种小屁孩都懂的问题

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  • 21楼
    2012-01-22 23:19 科学帝

    百度百科还说什么令人不解什么神秘
    我都想吐了,问问小学生都能解答你为什么1比9多
    还有这篇文章最好改一下,直接拿人类身高数字首位做例子算了,保证有99.9%是1

    [0] 评论
  • 22楼
    2012-01-25 17:38 潇潇墨水

    我好晕啊!!!

    [0] 评论
  • 23楼
    2012-04-06 21:48 DrakeXiang

    竟然有一篇死理性文章我能看懂。。

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  • 24楼
    2012-04-21 09:53 kayw

    niucha

    [0] 评论
  • 25楼
    2012-10-24 13:23 meme混合体 金融专业,市场研究咨询顾问

    要会用软件来检验,这样才是学以致用。

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  • 26楼
    2013-07-15 22:38 samino
    引用@乔瑭 的话:买彩票适用吗

    明显不行了,虽然我也很想。。。彩票完全是随机出数,不是指数型出数

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  • 27楼
    2013-08-08 03:22 歇洛克波洛
    引用@科学帝 的话:全反对本福特定律就像文章举例的,居然用国家人口数首位,你难道不知道地球上小国超多,大国手指都数的过来吗?在千万级别里,1千万肯定最多,然后依次降低,上亿的我记得只有6个你敢不敢统计人口的第2第...

    你真的看明白这篇文章讲了些什么吗→_→如果你觉得你可以完美驳斥本福特法则的话,发篇Sci吧

    [6] 评论
  • 28楼
    2013-08-14 09:36 iwong
    引用@科学帝 的话:全反对本福特定律就像文章举例的,居然用国家人口数首位,你难道不知道地球上小国超多,大国手指都数的过来吗?在千万级别里,1千万肯定最多,然后依次降低,上亿的我记得只有6个你敢不敢统计人口的第2第...


    第2位第3位?这孩子根本没看懂文章啊。。。。

    [2] 评论
  • 29楼
    2013-08-14 09:40 iwong
    引用@歇洛克波洛 的话:你真的看明白这篇文章讲了些什么吗→_→如果你觉得你可以完美驳斥本福特法则的话,发篇Sci吧

    呵呵,别较劲了,他发的一篇问答:http://www.guokr.com/post/425864/

    [2] 评论
  • 30楼
    2013-09-24 23:22 西班牙大火腿
    引用@科学帝 的话:百度百科还说什么令人不解什么神秘我都想吐了,问问小学生都能解答你为什么1比9多还有这篇文章最好改一下,直接拿人类身高数字首位做例子算了,保证有99.9%是1

    笑死了

    [0] 评论

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