数学

死理性派碰面法,100%遇见你

忘了时间的约会还能遇到他吗?忘了约会时间怎么办?

严酷的魔王 发表于  2011-08-30 18:18

在一个周五晚上,甲和朋友乙决定去夜店High一把。但是他们兴奋过头,忘记了约定的具体时间,只记得是在十二点到一点之间。假设他们随机地选择到达夜店的时间,并且都会在店门口等另一个人十分钟(如果在此期间对方并未出现,他就会离开)。那么,他们当晚能见面的概率是多大呢?

 

碰面概率是可以算出来的

让我们看看其中一个人甲是怎么想的。站在甲的角度来说,乙可能会在任意一个时间点出现,因此我们可以通过划分时间段的方法,计算碰面的概率。不妨将这一个小时分成三段时间: 00:00 - 00:10, 00:10 - 00:50,00:50 - 01:00。

在第一个时间段内,朋友到达夜店时间是随机的,平均起来就是00:05,所以只要甲在 00 : 00 – 00 : 15 这15分钟内出现都能和乙碰面,因此碰面的概率是 15/60 = 1/4。

类似的,如果乙在第三个时间段内到达,其平均到达时间就是00:55,那么只要甲在 00 : 45 – 01 : 00 这15分钟内出现都能和他碰面,因此碰面的概率也是1/4。

最后我们来考虑中间那一大段,当朋友在这段时间内到达,他的平均到达时间是00 : 30,甲只要在 00 : 20 – 00 : 40 这20分钟内出现都见到他,因此碰面的概率是 1/3 。

把这三种情况综合起来,第一个和第三个时间段长度分别是总时长的 1/6 ,第二个时间段长度是总时长的 2/3 ,我们就可以得到最终碰面的概率是:

/gkimage/ds/a1/4z/dsa14z.png

上面这种方法是条件概率方法,很经典,但是过程却稍显繁冗,有没有更好的方法?

 

更简单的算碰面概率方法

答案是有的,而且这个简单的方法甚至不需要语言。

/gkimage/wo/66/l7/wo66l7.png

从上图中,你能一眼看出结果么?

如果把甲的到达的时间记在 x 轴上,把乙的到达时间记在 y 轴上,那么他们到达的时间便可以用坐标系中的点 ( x , y ) 来表示,根据设定可知这个点一定会落在图中的正方形区域中。而如果二人想见面,那么他们先后到达的时间间隔一定要小于十分钟,即 | x – y | ≤ 10。

解这个不等式,可得 x – 10 ≤ y ≤ x + 10 。将这两条支线在坐标系中画出来,就能发现它们围成的区域正好是上图的阴影部分。

换言之,如果两人要碰面,对应的到达的时间点 (x,y) 就必须要落在阴影部分内。所以阴影部分的面积与大正方形面积之比就是所要求的概率,据此我们就能很轻松地计算出答案:11/36。

 

死理性派100%碰面法

当然,上述的分析是在两人到达时间是随机的这个条件下作出的。其实,这个问题真正有趣的地方在于,如果两个人都是死理性派,那他们就是忘了约定时间,一样可以同时到达,保证100%的概率碰面!

第一眼看过去,很容易得出这样的结论:你不会选择离00:00或者01:00太近的时间。如果你出现在00:00,那么你的朋友只能在你之后的10分钟内出现才行。

这很好理解,如果甲在00:00出现,就意味着他的朋友必须在接下来的10分钟内到达。相比之下,显然00:01是一个更好的选择——因为这样的话,乙到达的时间就可以在[ 00 : 00 , 00 : 11 ] 这11分钟内选择。 按照这个逻辑,00:02又比00:01出现更加合适……这样的择优选择可以一直类推到00:10这个时刻。同样的,再考虑时间轴的另一端,我们也可以运用如上的择优法则选择出 00 : 50 这个时刻。这样一来,甲就将自己的出现时间从 [ 00 : 00 , 01 : 00 ] 减小到 [ 00 : 10 , 00 : 50 ] 。因为乙也是死理性派,所以他也一定是这样想的(人以群分嘛)。

于是对于他们两个来说,到达的时间区间变短了,而等待时间不变(依然是10分钟),因此碰面的概率一定会有所提高。事实上,根据之前的方法,如果在这个区间两人随机到达,那么碰面的概率便会增加到7/16。

但是推理就到这一步而已吗?不!人们在选择策略时的逻辑推理过程是这样的:

/gkimage/4c/ua/mn/4cuamn.png

所以只去掉一次非优策略后,甲、乙不会停下思考的步伐,他们只有在确定已经筛选不出更优的策略时才会收手。

前面说过,两人通过各自的推理,确定出了一个新的到达时间区间 [ 00 : 10 , 00 : 50 ] ,但这不会是思考的终点。在新的区间里,再次应用之前的逻辑推理,我们便会发现选择在 00 : 10 出现也是不明智的了,因为两人肯定不会在这个时间点之前出现,于是这样选择就等于只留给对方10分钟,因此 00 : 11 更好——相似的逻辑再次出现。与上一轮思考十分相似,这个区间会被缩减至[00:20,00:40]。

写到这里,想必大家都明白了。没错,这个区间仍然有继续缩减的余地:只要这是个区间(而不是一个时间点),就有继续缩减的余地。按照上面的想法,甲、乙最终都会将到达的时间锁定在 00 : 30 上。所以如果忘记约定时间,两个人就会毫不犹豫地在00:30准时出现,成功碰头。

更一般的,如果等待时间不是10分钟,到达的时间区间也可随意设置,根据上面的分析,两个人仍然会选择在这个区间的中点到达。

实际上,这是一个关于时间的博弈,而 00 : 30 就是纳什均衡点:如果都选择在这个时间点出现,那等待时间将缩减为0,见面机会是100%。所以,如果你的那一位也是一个死理性派,那制造一次浪漫的100%偶遇吧。

本文编译自 mind your decision,原文点 这里
全部评论(143)
  • 121楼
    2013-04-05 10:34 vlv

    怎么想到了高一学的二元一次线性规划问题~~~~

    [0] 评论
  • 122楼
    2013-04-05 10:55 alonso
    引用@严酷的魔王 的话:不是“会”是“必须”

    再怎么等,妹纸也终究成为他人妇

    [0] 评论
  • 123楼
    2013-04-05 11:16

    常理。

    [0] 评论
  • 124楼
    2013-04-05 12:39 夕外之名

    这是数学题目 线性归化的

    [0] 评论
  • 125楼
    2013-04-05 13:04 太平天国呜喵王薛顶饿
    引用文章内容:如果你的那一位也是一个死理性派




    为什么我会想到“球形鸡”的笑话……

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  • 126楼
    2013-04-05 20:30 吃吃辣酱

    两个死理性去夜店不会就为了验证这1的碰面吧……

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  • 127楼
    2013-04-05 21:59 刘烁

    只有两个人都能确定对方也忘记了到达时间的时候才能这么推理吧?

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  • 128楼
    2013-04-05 23:13 我的钥匙丢了

    好复杂,打个电话或者各玩各的不行吗

    [0] 评论
  • 129楼
    2013-04-05 23:30 Carrie容若

    我还是木有理解。。。。。

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  • 130楼
    2013-04-06 00:45 想叫lomo都不行
    引用@兔子不吃萝卜 的话:我想的是他们怎么不打个电话。。。。

    +1

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  • 131楼
    2013-04-06 03:24 好人汉辛

    够简明

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  • 132楼
    2013-04-06 13:40 JIK

    好吧。。问题是是理性派不多(个人认为)。。

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  • 133楼
    2013-05-22 15:06 方法论

    应用不成立,因为前提是我们已经知道双方都忘了时间,但实际上如果我们是其中的一方,在断开联络的情况下不知道对方是否同样忘了时间。
    矮油,打个电话会死啊!

    [1] 评论
  • 134楼
    2013-05-22 16:24 池州陆志青

    就不能打个电话么。。。说不定对方没忘记呢。。。

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  • 135楼
    2013-07-16 23:48 upc001
    引用@风飘絮 的话:妹子一直用这个方法等人,可是对方不是死理性……………………


    妹子说:
    我再有30分钟就到公主坟地铁站了,你赶紧到地铁口来接我。
    要是你到了,我没到,你就等着吧。
    要是我到了,你没到,你就等着吧!

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  • 136楼
    2013-08-05 10:58 华氏度

    死理性派首先得有个朋友啊....

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  • 137楼
    2013-08-22 06:50 你也不认识

    有问题吧。区间缩小一次之后,就不能再缩小了。因为一方无法确定另一方也像他一样忘了时间。

    [0] 评论
  • 138楼
    2013-08-30 09:53 花生油a-13

    大概看懂了,前提是这俩人得一样会算这个,还得一样默契

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  • 139楼
    2013-10-04 18:14 lcjF

    难道正解不是打个电话问问先?

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  • 140楼
    2013-10-04 22:50 scythe7


    其实不用死理性派

    随便两个有着一样的确定性逻辑障碍的精神病人,也可以确保百分之一百碰面

    因为他们都一样的确定性的认为随机到达就是跟着飞机跑过去,所以今天唯一一班飞机就带来了两个精神病人

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  • 141楼
    2013-10-04 23:33 如风清澈

    纳什均衡 啊。。。 以前看经济类的科普书看到过。。。

    [0] 评论
  • 142楼
    2013-12-29 20:42 品土苗苗

    突然觉得文科僧的生活简直像猪一样幸糊

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  • 143楼
    2016-06-18 22:48 跃层

    然而一般双方都会尽早到目的地,这也是为什么死理性派不好找配偶的缘故

    [0] 评论

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严酷的魔王 统计学专业本科生,数学控

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