地球是球形的

“地球是个球”在今天看来像废话一样。但对古希腊人来说，这件事却没那么简单。亚里士多德在他的著作记述了很多用于证明地球是球形的证据。由于缺乏观测手段和受限于活动范围，这些证据并不都对，但确实很有意思的，比如：

• 既然落下的水滴倾向于成为球形，那么诞生于混沌之中的地球也理所当然的是球形的。此外希腊人也钟情于球形和圆形，例如毕达哥拉斯就认为地球应该是最完美和谐的形状——球形。（其实没有联系）
• 从希腊向西走（进入非洲）会见到大象，向东走（进入亚洲）也会见到大象，那么西边的大象一定是绕过了整个地球又回到了东边。（这一条错的比较严重）
• 眺望地中海上归航的帆船，总是先看到桅杆顶，后看到船身。（这一条很著名，并且是正确的）
• 在不同纬度看到北极星在天球上的高度不同，越往北高度越高；而且会看到不同的星空。（这也是正确的）

实际上，月食的过程就能证明地球是球形的。亚里士多德注意到月食总是发生在满月的时候，说明地球这时候处于月亮和太阳之间，因此月亮进入的黑暗区域其实就是地球投射在月亮上的影子（地球本影）。既然当月食发生的时候，无论地月日三者的相对位置怎么变化，地球投射在月面上的影子边缘总是呈圆弧状，那么地球一定是球形的。假如地球长得像张大饼，那么月食的时候就应该有可能看到椭圆弧。同样的，对日食的观测让亚里士多德得出了月亮也是球形的结论。

地球的尺寸

知道地球是球形的后，学者们自然就很想知道的它的周长是多少。希腊学者埃拉托斯特尼（Eratosthenes of Cyrene）是亚历山大图书馆的第三任馆长，他从书中得知每年的 6 月 21 日这天，太阳在正午能够直射入埃及阿斯旺的水井中（今天我们知道这是太阳在夏至能够直射北回归线，正午的光线和地面呈直角）。但是他在亚历山大却发现当天正午的光线总是以 7° 左右（ 7°12' ）的角度射进水井。

埃拉托斯特尼知道地球是球形的，还了解弧长和半径的关系：

其中 S 是亚历山大和阿斯旺之间的距离（可以雇佣一个商船队测量出来）， r 是半径， θ 是光线入射的角度。假如用 C 表示地球的周长，再代入公式1中的 r 值，则地球的周长就是

他将测得的数据代入这个公式，算出地球周长是 39,690 公里, 相比我们今天知道的数值（ 40,076 公里）仅有 2% 的误差。

实际上，公式中的几个数值在当时都很难测的精确。比如亚历山大和阿斯旺之间的距离 S 就只能依赖船队的测量，但航线并不是直线，亚历山大也并不在阿斯旺的正北方，另外只有精确地确定太阳在天顶的时刻，才能准确知道 θ 的值，这在当时也很难做到。因此在这样的条件下，误差却小得惊人，以至于不得不说可能有点运气的成分在内。不过即使用今天的眼光来看，这一方法依然是很经典的。

月亮的尺寸和地月距离

比埃拉托斯特尼年长 30 多岁的希腊学者阿里斯塔克斯曾通过月食来估算月亮大小。那时候的希腊人已经知道地月轨道面和日地轨道面之间有一个小夹角，因而并非每次地球处于月亮和太阳之间都会产生月食。又因为地球比月亮大，所以发生月食时，月亮可能从地球本影的上部、下部或者正中经过，因此每次月食持续的时间都不太一样。阿里斯塔克斯假设太阳距离地球非常远，远到地球在月亮轨道上的投影与地球一样大。

月亮在持续时间很长的月食中（从地球本影的正中间经过，如下图），从本影穿过的时间大约是 1 小时，是它从初亏到完全进入地球影子（食既）的时间（经历一个月球直径）的 1/2 。而月球大约每 30 天绕地球一圈，所以每小时它在星空中移动 0.5° ，恰好等于月球在天上的张角，也就是视直径。所以阿里斯塔克最初估计，月亮的直径为地球的 1/2 （对于月食现象中专有名词不了解的读者，可以阅读观星者小组的 12月10日，星期六，前半夜，月全食！！ 内有详细的解释 ）。

但实际上，阿里斯塔克斯知道太阳与地球之间其没有远到那种地步，它们之间的光路其实应该如下图所示，很显然，地球本影在月亮轨道上的大小要小于地球的直径。所以他得到的其实是地球在月亮轨道上的本影直径，大小是月亮直径的 2 倍。据此他求解出地球本影的大小，从而得到更为准确的月亮直径。

我们不妨来看一下这个简单的计算过程。设 A 为地球本影落在月亮轨道上的弧度， B 是太阳角大小的一半。角大小（angular size）指的是从观察者角度看过去天体所包含的视场角度值，天文上用它来表示天体目视大小，这里用弧度表示。由于 A + B + C = π，而 E、 C、 D 同属一个三角形的三个角，所以 E + C + D = π，因此

因为这些弧度都比较小，所以能得到如下的近似表达式。这里 R 是半径， D 是距离；下标中的 e 为地球， m 为月亮， s 为太阳：

代入(3)：

因为在地球上看太阳和月亮几乎一样大（日食的时候，月亮正好遮住太阳），所以它们的角大小几乎相等，即：

代入上式的最后一项，可以得到：

整理后就是：

由于地月距离远小于地日距离，( Dem / Des) 约等于0。所以上式可以简化为：

这个公式告诉我们地球在月亮轨道上本影的半径，正好是地球的半径减去月亮的半径。

此前阿里斯塔克斯对月食的观察得到

因此

由此可得：

即地球直径是月亮直径的 3 倍，这个数据和今天所知的 3.5 倍有差别。这是因为初亏与食既间隔的时间大约为 1 小时，而从食既到复圆花费的时间是 2.5 小时左右。阿里斯塔克斯记录的（或者是他从巴比伦人记载的记录中查到的）时间比为 2 ，这种对月食各阶段时间观察的不准确就导致了最终的误差。

有了月球直径这个数据后，阿里斯塔克斯又用一个巧妙的方法估算了地月距离：他举起一个大拇指对着月亮，当拇指完全能够遮住月亮的时候，它和眼睛之间的距离与拇指尖宽度的比值大约为 110 ，根据相似形的原理，这个值等于地月之间距离与月亮直径的比值，由于已经知道月亮的直径，所以很容易求出地月之间的距离。

其实更为准确的计算地月距离的方法是利用视差。假设有两个人在纬度不同的地方记录月亮与背景星空的位置，通过测量月亮位置的变化，就可以得到视差的角度。再测量出两地之间的距离，用简单的三角关系式就可以很准确方便地求出地月距离。当年的地中海及埃及地区完全可以提供这样的观测条件，计时也许有难度但也并非不可能，可奇怪的是这个方法没有被古希腊学者们采用。

太阳的尺寸和日地距离

由于太阳看起来和月亮一样大，根据上文的方法，阿里斯塔克斯估计地日之间的距离与太阳直径的比值也是 110 左右。他推断月亮正好被照亮一半（上弦月或下弦月）的时候，日月之间的连线和地月之间的连线应该垂直，如下图。这样在已知地月距离 L 的情况下，只要求出日地连线与地月连线的夹角 φ ，就通过余弦公式算得地日之间的距离 S 。

可惜的是，这个方法理论上正确，实践起来却很困难。在当时的观测条件下，阿里斯塔克斯无法确定上弦月的准确时间，他测得的 φ 为 87° 左右，与实际值 89.853° 的误差较大。阿里斯塔克斯得出了日地距离是月地距离 20 倍的结论，但实际上前者是后者的 390 倍。因为这个错误，他求出的太阳直径也比真实值小了很多。

虽然阿里斯塔克斯的结果有巨大的误差，但是他计算的逻辑确实是正确的。他算出太阳直径远大于地球直径，这使得他意识到地球围着太阳转才是符合逻辑的。因此阿里斯塔克斯是历史上第一位把太阳放在宇宙中心，提出日心说的人。可惜他的著作不被当时的主流学者接受，这一伟大的发现被埋没了上千年，后人把他称为希腊的哥白尼。

观测月全食！你能算算吗？

回顾了人类探索宇宙尺度的早期历史之后，你是不是被牛人们的智慧震惊了呢？其实只要用上本文介绍的一些知识点，配上简易的工具——相机，你也可以测量月亮的大小。 当看到或者拍到一张月食照片时（如上图），在知道地球大小的情况下，你能算出月亮的尺寸吗？ 试试看吧。

趁着这个机会，赶紧去自己拍张照，回家慢慢算吧。

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参考资料：

The Cosmic Distance Ladder , Terence Tao