数学

数学里也能耍流氓

数学推理也会漏洞百出,但仍然充满智慧 有漏洞的数学推理就毫无意义吗?

matrix67 发表于  2011-02-23 14:17

数学一向以严谨的思维著称,每一步推理都需要严格的理由。但在数学历史中,漏洞百出的数学推理也频频出现。有趣的是,即使是这些不严格的思路也充满着智慧,在数学中的地位不亚于那些伟大的证明。今天,果壳死理性派会用几个经典例子告诉你,在数学里也是可以耍流氓的。

逻辑中的那些流氓

耍流氓是各种数学悖论的来源。你能想一个命题,使得它和它的否定形式同时成立吗?令人难以置信的是,这样的命题真的存在。“这句话是七字句”就是这样一种奇怪的命题。它的否定形式是“这句话不是七字句”,同样是成立的。

你肯定会大叫“赖皮”,命题的真假与这个命题本身的形式有关,这样的命题算数学命题吗?没错,这些涉及到自己的命题都叫做“自我指涉命题”,它们的出现会引发很多令人头疼的问题。从说谎者悖论(Liar paradox)到罗素悖论(Russell's paradox),各种逻辑悖论的产生根源几乎都是自我指涉。数理逻辑中的流氓遍地都是,它们直接引发了数学史上的第三次数学危机。

欧拉的流氓证明法

在数学史上,很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉(Euler)的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值,并且给出了一个漂亮的解答:

http://guokr.com/gkimage/ld/jb/xm/ldjbxm.png

这是一个出人意料的答案,圆周率 π 毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径,采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解,对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解,再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过,利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式,在当时的数学背景下,这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此,欧拉利用这种不严格的类比,却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。

最经典的“无字证明”

一些定理的直观理解虽然毫无逻辑可言,完全算不上是数学证明,但这些精巧而欢乐的视角,依然让数学家们如痴如醉。

1989 年的《美国数学月刊》(American Mathematical Monthly)上有一个貌似非常困难的数学问题:下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘,现在请你用右边的三种(仅朝向不同的)菱形把整个棋盘全部摆满(图中只摆了其中一部分),证明当你摆满整个棋盘后,你所使用的每种菱形数量一定相同。

http://guokr.com/gkimage/pj/k9/xa/pjk9xa.png

文章末尾提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色,整个图形瞬间有了立体感,看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面,它们的数目显然应该相等。

http://guokr.com/gkimage/l0/1k/ou/l01kou.png

严格地说,这个本来不算数学证明的。但它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起,实在让人拍案叫绝。因此,这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广,深受数学家们的喜爱。《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》(Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection)一书的封皮上就赫然印着这个经典图形。在数学中,类似的流氓证明数不胜数,不过上面这个可能算是最经典的了。

http://guokr.com/gkimage/r9/0y/44/r90y44.png

《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》的封面

旋轮线的面积

http://guokr.com/gkimage/ms/gs/wq/msgswq.png

旋轮线。图片来源:Wikipedia

车轮在地上旋转一圈的过程中,车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中,旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说,一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。这个结论最早是由伽利略(Galileo Galilei,1564-1642)发现的。不过,在没有微积分的时代,计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢?

他的方法简单得实在是出人意料:它在金属板上切出旋轮线的形状,拿到秤上称了称,发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。

在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后,伽利略果断地耍起了流氓,用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了,广义费马点(generalized Fermat point)问题就能用一套并不复杂的力学系统解出,施泰纳问题(Steiner tree problem)也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。

热门评论

  • 2011-02-23 16:48 沉默的马大爷 富有激情的心理学工作者

    想起中学时做几何题,算不出来就拿尺子量。。。
    后来由于这样耍流氓的人太多,老师就故意把图画得比例失调

    [196] 评论
  • 2011-02-23 15:50 忙忙忙忙死了
    引用 琦迹517 的回应:如何证明0.9999999……=1?????
    证:设a=0.99999……(①)
    则10a=9.999999……
    ∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a
    ∴10a-a=9
    ∴a......

    您为什么不用更流氓的办法……
    1/3=0.333333333……
    3*(1/3)=0.999999999……=1
    ……………………………………

    [93] 评论
  • 2011-02-23 15:41 琦迹517 资深心理学爱好者

    如何证明0.9999999……=1?????
    证:设a=0.99999……(①)
    则10a=9.999999……
    ∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a
    ∴10a-a=9
    ∴a=1
    又∵a=0.999999999……(①)
    ∴0.999999……=1
    俺来耍流氓了~

    [66] 评论

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全部评论(321)
  • 1楼
    2011-02-23 15:41 琦迹517 资深心理学爱好者

    如何证明0.9999999……=1?????
    证:设a=0.99999……(①)
    则10a=9.999999……
    ∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a
    ∴10a-a=9
    ∴a=1
    又∵a=0.999999999……(①)
    ∴0.999999……=1
    俺来耍流氓了~

    [66] 评论
  • 2楼
    2011-02-23 15:48 Ted自立自学自律

    --!你狠。。。

    引用 琦迹517 的回应:如何证明0.9999999……=1?????证:设a=0.99999……(①)则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......
    [1] 评论
  • 3楼
    2011-02-23 15:49 XX光

    最后一个我想起那个爱迪生称灯泡体积的故事

    [17] 评论
  • 4楼
    2011-02-23 15:49 香草

    证明菱形数量一定相同那个题,可以用三次单位根赋值的方法

    [0] 评论
  • 5楼
    2011-02-23 15:50 忙忙忙忙死了
    引用 琦迹517 的回应:如何证明0.9999999……=1?????
    证:设a=0.99999……(①)
    则10a=9.999999……
    ∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a
    ∴10a-a=9
    ∴a......

    您为什么不用更流氓的办法……
    1/3=0.333333333……
    3*(1/3)=0.999999999……=1
    ……………………………………

    [93] 评论
  • 6楼
    2011-02-23 15:51 Sheldon 理论物理博士,科学松鼠会成员

    其实对于数学家来讲,物理学家都是流氓。矩阵兄可以写个哈!

    [10] 评论
  • 7楼
    2011-02-23 15:57 水色星空-蜓蜓喵 动物学硕士,猫咪控

    旋轮线,一句话 真是太神奇了!

    [3] 评论
  • 8楼
    2011-02-23 16:05 葛巾

    关于0.999……=1,俺也是这样证明的:

    1/3=0.333……

    1/3×3=1

    0.333……×3=0.999……

    0.999……=0.333……×3=1/3×3=1

    [2] 评论
  • 9楼
    2011-02-23 16:05 葛巾

    好爱伽利略耍的流氓!!!

    [11] 评论
  • 10楼
    2011-02-23 16:09 Thomicool64
    引用 sheldon 的回应:其实对于数学家来讲,物理学家都是流氓。矩阵兄可以写个哈!


    顶,对于物理学家来讲,化学家都是流氓= =

    [13] 评论
  • 11楼
    2011-02-23 16:11 浣熊

    好优美的耍流氓!

    [0] 评论
  • 12楼
    2011-02-23 16:21 戊辰麦芽糖

    我是个老实人,我不耍流氓——0.999999......=3X1/3=1 blockquote]引用 琦迹517 的回应:如何证明0.9999999……=1?????证:设a=0.99999……(①)则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......[/blockquote]

    [0] 评论
  • 13楼
    2011-02-23 16:36 绿咸鱼

    话说...耍流氓不成也是常有的事情...
    比如欧拉同学就干过 lim 1/x^n+...+1/x^2+1/x+1+x+x^2+...+x^n (n->inf) = 1+1/x+1/x^2+...1/x^n+x+x^2+...+x^n(n->inf) = (1-(1/x)^(n+1))/(1-1/x)+x*(1-x^n)/(1-x) (n->inf) = x/(x-1)+x/(1-x) = 0 的神奇证明...

    [2] 评论
  • 14楼
    2011-02-23 16:48 沉默的马大爷 富有激情的心理学工作者

    想起中学时做几何题,算不出来就拿尺子量。。。
    后来由于这样耍流氓的人太多,老师就故意把图画得比例失调

    [196] 评论
  • 15楼
    2011-02-23 17:05 April18thzZ
    引用 琦迹517 的回应:如何证明0.9999999……=1?????
    证:设a=0.99999……(①)
    则10a=9.999999……
    ∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a
    ∴10a-a=9
    ∴a......

    证明过程有一步写错了,10a-a=9a才对。
    接下去应该是9a=9,所以a=1
    ……啊当然,其实结果还是一样的,只是证明过程有点小纰漏
    ……但是的确很流氓……

    [0] 评论
  • 16楼
    2011-02-23 17:34 緢指甲
    引用 琦迹517 的回应:如何证明0.9999999……=1?????证:设a=0.99999……(①)则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......


    我也耍~0.9999...=1???1/3=0.3333...1/3×3=0.333...×3=1嘿嘿~

    [0] 评论
  • 17楼
    2011-02-23 17:55 婆罗浮屠

    流氓~~~嘎嘎~~~

    引用 琦迹517 的回应:如何证明0.9999999……=1?????证:设a=0.99999……(①)则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......
    [0] 评论
  • 18楼
    2011-02-23 17:56 暴走紫罗兰

    对于数理化的童鞋们来说,心理学都是耍流氓

    [3] 评论
  • 19楼
    2011-02-23 18:10 自然卷的蘑菇
    引用 琦迹517 的回应:如何证明0.9999999……=1?????



    最简单的证法:1/3=0.33333333……(①)
    则0.33333333*3=0.99999999……
    1/3*3=1
    ∴1=0.99999999.......
    [0] 评论
  • 20楼
    2011-02-23 18:18 琦迹517 资深心理学爱好者

    心理学也有严谨的统计与测量,也有实验与公式,我们不是耍流氓!!!

    引用 暴走紫罗兰 的回应:对于数理化的童鞋们来说,心理学都是耍流氓
    [5] 评论
  • 21楼
    2011-02-23 18:21 xyfd

    康托证明有理数可数和实数不可数的方法也相当奇葩

    [2] 评论
  • 22楼
    2011-02-23 18:29 迷渡

    哈哈~~耍流氓~~好有爱的形容词啊~~

    [1] 评论
  • 23楼
    2011-02-23 18:39 山人

    最后那个流氓。。。我只能说太神奇了。

    [1] 评论
  • 24楼
    2011-02-23 19:01 无所谓吧

    我觉得,学校的数学老师有必要说明无限循环小数的加减法运算,否则很多人都会想耍流氓。

    [3] 评论
  • 25楼
    2011-02-23 19:32 VICK

    在上管理学的课,老师是流氓...

    [0] 评论
  • 26楼
    2011-02-23 19:40 四海

    ……没有语言了……

    [0] 评论
  • 27楼
    2011-02-23 20:00 沉默的马大爷 富有激情的心理学工作者
    引用 暴走紫罗兰 的回应:对于数理化的童鞋们来说,心理学都是耍流氓

    这是从何说起。。。

    [1] 评论
  • 28楼
    2011-02-23 20:12 Alex銘特

    旋轮线。。。太NB了。。。。

    [1] 评论
  • 29楼
    2011-02-23 20:41 neilso

    哈哈,太有意思了

    [0] 评论
  • 30楼
    2011-02-23 20:47 __子实__

    伽利略...非礼啊~

    [2] 评论

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