别中了“房价增长率下降”的计

所谓“增长率”，即是增长的量与原来的数量的比值。不妨让我们具体算算，在前面的数据中，各年的增长率究竟是多少。房价从 1 万增长到了 2 万，增长率为 100% ；而从 2 万增长到 3 万 8，增长率却只有 (3.8 - 2) / 2 = 90%。从 3.8 万到 7 万，房价的增长率则降到了 (7 - 3.8) / 3.8 ≈ 84%。可见，虽然房价增长的势头看上去是越来越猛，细心一算却发现增长率确实是一年比一年低。

“增长速度”有歧义

平常人们说的“增长速度”，其实是有歧义的。有时候，人们用相邻两年的数量之差来表示增长速度，“增长速度不变”的意思就是每年都增加相同的量，也就是通常所说的“线性增加”。而有时“增长速度”又是用相邻两年的数量之比来衡量的，“增长速度不变”的意思就变成了以固定的增长率增加，即传说中的“指数级增长”。相比之下，前种定义更符合人们的直观感受，而统计数据则往往倾向于用后面那种定义。在本文开头的例子中，人们会感觉到房价正在猛烈增长，统计数据却告诉我们其增长率正逐年降低，这正是两种定义的不一致性造成的。

左右两幅图分别是 y = 2x 和 y = 2 的 x 次方 的函数图象。其中左图表示的是每年增长两个单位，是一种线性增长；右图表示的是每年增长一倍，属于指数级增长。指数级增长的迅猛程度远远高过线性增长，固定增长量最终还是输给了固定增长率。

由于“基数”越来越大，即使增长量保持不变，增长率也会越来越低，因此增长率下降是一件很正常的事。如果从 1 万开始，每年稳定地增加 1 万的话，10 年之后房价将达到 11 万元，但增长率却从 100% 一路降到 10 %。即使以 1 万、2 万、3.8 万、7 万的速度增长，增长率也是在逐年下降的；可想而知，如果增长率真的保持不变的话，实际房价会有多么疯狂。

如果房价增长率真的保持不变

今年 Google 校园招聘笔试题中，有一道颇有些悲剧色彩的数学计算问题：

现在北京有一套房子，价格 200 万，假设房价每年上涨 10%，一个软件工程师
每年固定能赚 40 万。如果他想买这套房子，不贷款，不涨工资，没有其他收入，
每年不吃不喝不消费，那么他需要几年才能攒够钱买这套房子？

A. 5年
B. 7年
C. 8年
D. 9年
E. 永远买不起

正确答案并不出人意料：E，永远买不起。如果房价的增长率保持 10% 不变，n 年后的房价计算公式则为

随着 n 的增加，上式的结果将呈指数级上涨。即使每年只增加 10%，经过多次迭代之后很快便会爆发出惊人的力量。5 年之后，这套房子将会变成 322 万元，10 年之后则会变成 518 万元，20 年之后则为 1345 万元，50 年之后更是 2 亿元之多。而题目中的那位悲催的软件工程师，手中的积蓄只能以每年 40 万的固定数量线性地增长。10 年之后，他的全部积蓄也不过 400 万，离目标还差大约 1/4 的距离；50 年之后，他攒到了 2000 万，离目标的距离反而扩大了，就算再来 10 个 2000 万也买不了房。最终，指数级增长把线性增长远远地甩到了后面，软件工程师只能望着飙升的房价唉声叹气了。