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规律什么的都是骗人的

永远不要拿规律当作推理的依据,这是数学中一个非常危险的错误!大多数时候,寻找规律都是有帮助的;但就有这么一些极端的例子,能成立很久的规律竟然是错误的。该证明的还是要老老实实证明,投机取巧总会有倒霉的时候。

貌似整数的数

你知道吗:

/gkimage/bh/vl/hl/bhvlhl.png

哇,小数点后三位都是 9 ,该不会整个数正好就是 20 吧?其实不然:

/gkimage/c4/ne/u2/c4neu2.png

这还不牛。我们有更像整数的数:

/gkimage/07/4r/lo/074rlo.png

直到小数点后第 6 位才出现第一个不是 9 的数。

/gkimage/nu/99/yy/nu99yy.png

小数点后面有连续 9 个 9!

质数生成公式?

1772 年,大数学家欧拉(Euler)发现,当 n 是较小的正整数时,代入 n 2 + n + 41 得到的总是质数。事实上,n 从 1 一直取到 39,算出来的结果分别是:

43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281,
313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853,
911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601

这些数全都是质数。第一次例外发生在 n = 40 的时候,此时 40 2 + 40 + 41 = 40 2 + 40 + 40 + 1 = (40 + 1)(40 + 1) = 41 × 41。一直要算到 n = 40 ,才能破除这个“伪规律”。

这也太巧了吧

定义数列 s(1) = 8,s(2) = 55,并且 s(n) 等于最小的使得 s(n)/s(n-1) > s(n-1)/s(n-2) 的数。这个数列的头几个数是:

8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081,
279942687, 1929384798, 13297456486, 91647010581, …

这个数列似乎符合一个简单的四阶递推方程:s(n) = 6·s(n-1) + 7·s(n-2) - 5·s(n-3) - 6·s(n-4)。事实上,数列的前 11056 项一直与这个递推方程相吻合。到了第 11057 项(此时数列里的数已经有上千位了),才第一次出现例外。

千万不要妄下结论

圆周上有 n 个点,两两之间连线后,最多可以把整个圆分成多少块?

/gkimage/6o/jc/gc/6ojcgc.png

上图显示的就是 n 分别为 2、3、4 的情况。可以看到,圆分别被划分成了 2 块、4 块、8 块。规律似乎非常明显:圆周上每多一个点,划分出来的区域数就会翻一倍。

事实上真的是这样吗?让我们看看当 n = 5 时的情况:

/gkimage/3z/w8/kz/3zw8kz.png

果然不出所料,整个圆被分成了 16 块,区域数依旧满足 2 n-1 的规律。此时,多数人都会觉得证据已经充分,不必继续往下验证了。偏偏就在 n = 6 时,意外出现了:

/gkimage/gr/xy/0e/grxy0e.png

此时区域数只有 31 个,推翻了我们之前的猜想。根据规律妄下结论,终究是会翻船的。

最坚挺的猜想

下面是大于 1 的正整数分解质因数后的结果:

2 = 2
3 = 3
4 = 2 × 2
5 = 5
6 = 2 × 3
7 = 7
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
10 = 2 × 5
...

其中,4、6、9、10 包含偶数个质因子,其余的数都包含奇数个质因子。你会发现,在上面的列表中一行一行地看下来,不管看到什么位置,包含奇数个质因子的数都要多一些。1919 年,匈牙利数学家波利亚(George Pólya)猜想,质因子个数为奇数的情况不会少于 50% 。也就是说,对于任意一个大于 1 的自然数 N,从 2 到 N 的数中有奇数个质因子的数不少于有偶数个质因子的数。这便是著名的波利亚猜想。

波利亚猜想看上去非常合理——每个有偶数个质因子的数,必然都已经提前经历过了“有奇数个质因子”这一步。不过,这个猜想却一直未能得到一个严格的数学证明。到了 1958 年,英国数学家哈赛格庐乌(C. B. Haselgrove)发现,波利亚的猜想竟然是错误的。他证明了波利亚猜想存在反例,从而推翻了这个猜想。不过,哈赛格庐乌仅仅是证明了反例的存在性,并没有算出这个反例的具体值。哈赛格庐乌估计,这个反例至少也是一个 361 位数。

1960 年,谢尔曼·莱曼(R. Sherman Lehman)给出了一个确凿的反例:N = 906 180 359。而波利亚猜想的最小反例则是到了 1980 年才发现的:N = 906 150 257。也就是说,从 2 一直数到 9 亿多,波利亚猜想看起来都是成立的!

The End

发布于2011-03-03, 本文版权属于果壳网(guokr.com),禁止转载。如有需要,请联系果壳

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matrix67

数学狂

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