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盘点数学里十大不需要语言的证明

数学里的十大不证自明 数学艺术 十个诗情画意的数学证明

physixfan 发表于  2011-08-08 17:01

当谈到复杂数学定理的证明时,很多人常常为之色变,认为这只是一个枯燥的公式堆砌和深奥的数学推导过程。这当然是一个让笔者感到纠结的误解。因为数学证明中包含的美丽与精巧实在是一道亮丽的风景线,而这种亮丽甚至不需要用语言来描述。所以我在这里盘点了数学里十大不需要语言的证明(proofs without words)。让读者在领略数学所包含的无与伦比的精巧之外,更从此爱上数学。

0. 勾股定理

这个大家小学就学过的古老定理,有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思(Elisha Scott Loomis)在 《毕达哥拉斯命题》( Pythagorean Proposition)提到这个定理的证明方式居然有367种之多,实在让人惊讶。这里给出一个不需要语言的证明方法。

/gkimage/59/o8/w6/59o8w6.png

实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况,而余弦定理的证明,同样可以不用语言。

/gkimage/pj/e8/f1/pje8f1.png
 

1. 关于反正切的恒等式

关于反正切,有如下两个很精彩的等式:

arctan1/2+arctan1/3=π/4

acrtan1+arctan2+arctan3=π

它们的证明方法也同样精彩

/gkimage/zg/jr/w3/zgjrw3.png/gkimage/nw/qe/01/nwqe01.png
 

2. 几何平均值小于算术平均值

这是不等式中最重要和基础的等式:

/gkimage/71/gi/w6/71giw6.png

它也可以通过图形来证明。

/gkimage/72/u4/3y/72u43y.png

注意到△ABC∽△DBA ,可以很轻松地得到AB=√ab。剩下的就显而易见了。

 

3. 1+3+5+…+(2n-1)= n 2

这是奇数的求和公式,下图是当n=8时的情形

/gkimage/cq/1e/b5/cq1eb5.png
 

4. 平方数的求和公式

/gkimage/om/n0/yt/omn0yt.png/gkimage/a6/ur/th/a6urth.png
 

5. 立方数的求和公式

/gkimage/y7/9s/66/y79s66.png/gkimage/le/dl/i2/ledli2.png
 

6. 斐波那契数列的恒等式

可谓家喻户晓的斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21 ……

这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和, F n+1 = F n + F n-1

它的通项公式是

/gkimage/js/vi/u3/jsviu3.png

有趣的是,这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。而且当n无穷大时 F n-1 / F n 越来越逼近黄金分割数0.618。正因为它的种种神奇性质,美国数学会甚至从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊。关于斐波那契数列,有一个恒等式是这样的

/gkimage/3h/le/o8/3hleo8.png

这个等式很漂亮,不需要借助复杂的数学推导,它有一个很直观的证明方法

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7. 结果为1/3的一组分子式

下面是一组分子式,他们的结果都等于1/3 :

/gkimage/3b/ec/8j/3bec8j.png/gkimage/4s/m4/v7/4sm4v7.png
 

8. 最受数学家喜爱的无字证明

1989 年的《美国数学月刊》(American Mathematical Monthly)上有一个貌似非常困难的数学问题:下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘,现在请你用右边的三种(仅朝向不同的)菱形把整个棋盘全部摆满(图中只摆了其中一部分),证明当你摆满整个棋盘后,你所使用的每种菱形数量一定相同。

/gkimage/vf/of/8m/vfof8m.png

《美国数学月刊》提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色,整个图形瞬间有了立体感,看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面,它们的数目显然应该相等。

/gkimage/et/ix/dx/etixdx.png

它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起,实在让人拍案叫绝。这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广,深受数学家们的喜爱。死理性派曾经讨论过 这个问题 。同时它还是死理性派logo的出处。

9. 棋盘上的数学证明

在一个8×8的国际象棋棋盘上,我们可以用32张多米诺骨牌(是两个相连正方形的长方形牌)覆盖整个棋盘上的64个方格。如果将对角线上的两个方格切掉,剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗?

/gkimage/ia/e7/ky/iae7ky.png

答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格,一白一黑。所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色,另一种颜色是30个,因此是不能被31张骨牌覆盖的。

但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢?假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格,那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住?我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论,存在一个非常漂亮的证明。建议读者在继续往下阅读前,可以先自行思考如何证明这个结论。

/gkimage/lr/i8/l8/lri8l8.png

上图就是那个漂亮的证明。不妨对它再赘述两句。粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格,会让这个封闭线路变成两段线路(如果切掉的方格是相连的,那就是一条线路)。在这两段(或一段)线路中,两种颜色的格子数量都是偶数,故分别都可以被若干张骨牌覆盖。从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。

这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁•加德纳提出的,而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞(Ralph Gomory)找到的。它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》这本书里。

 
数学里,有一种证明方法叫做Proofs without words。诚然,这种证明方法算不上严格,但是它却将数学中包含的最精巧的东西一览无余地展现了出来。本文列举了十个经典的例子。你还见过什么高明的吗,可以在回帖中写出来。如果有很漂亮的,我会在这里推荐出来。

资料来源:

mathoverflow

《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》

《Proofs without words》

热门评论

  • 2011-08-08 17:09 更方更正的物理

    貌似那个平方数的求和公式是不是打错了啊。。。应该是1/3n(n+1)(n+1/2)吧

    [5] 评论
  • 2011-08-08 17:14 吴师傅 数学专业
    引用方正电脑的回应:貌似那个平方数的求和公式是不是打错了啊。。。应该是1/3n(n+1)(n+1/2)吧

    谢谢 已改正

    [4] 评论

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全部评论(196)
  • 1楼
    2011-08-08 17:09 更方更正的物理

    貌似那个平方数的求和公式是不是打错了啊。。。应该是1/3n(n+1)(n+1/2)吧

    [5] 评论
  • 2楼
    2011-08-08 17:14 吴师傅 数学专业
    引用方正电脑的回应:貌似那个平方数的求和公式是不是打错了啊。。。应该是1/3n(n+1)(n+1/2)吧

    谢谢 已改正

    [4] 评论
  • 3楼
    2011-08-08 17:17 xyfd [2] 评论
  • 4楼
    2011-08-08 17:26 0.618 果壳网心事鉴定组编辑,科学松鼠会成员

    前排!

    [0] 评论
  • 5楼
    2011-08-08 17:30 trif

    eaglefantasy也加入果壳拉!

    [0] 评论
  • 6楼
    2011-08-08 17:30 Kam_芋頭

    第2个我证明过了,不是△ABC≌△DBA,是△ABC∽△DBA,全等必相似,相似不一定全等

    [0] 评论
  • 7楼
    2011-08-08 17:35 梦里醉逍遥 coder,历史爱好者

    原来死理性派的logo是这么来的!
    但是logo里似乎不是按菱形涂色的?是还有什么特殊的含义吗?

    [0] 评论
  • 8楼
    2011-08-08 17:39 梦里醉逍遥 coder,历史爱好者

    话说6那个图还可以产生一个很漂亮的图,叫做斐波那契螺旋线。

    [2] 评论
  • 9楼
    2011-08-08 17:42 吴师傅 数学专业
    引用Kam的回应:第2个我证明过了,不是△ABC≌△DBA,是△ABC∽△DBA,全等必相似,相似不一定全等

    是 ,已改正

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  • 10楼
    2011-08-08 17:55 蠕动

    数学白痴表示给各位数学家跪下了……

    我记得初中三角里,有课后习题就是要求证明勾股定理,当时用了一大堆文字+画图还没能完全说清楚,现在看来其实当初的题目就应该写用纯绘图方式证明啊……(不过这样我应该还是不会吧)

    [0] 评论
  • 11楼
    2011-08-08 18:21 ZHen江鱼

    图形语言

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  • 12楼
    2011-08-08 18:37 穷秀才

    将这些数学知识用在艺术创作上会不会更能产生美感

    [0] 评论
  • 13楼
    2011-08-08 18:53 千克每二次方秒每米

    perfect!

    [0] 评论
  • 14楼
    2011-08-08 18:55 TomLenen

    EagleFantasy和程序员有着共同的缺点。

    [0] 评论
  • 15楼
    2011-08-08 18:59 TomLenen

    引用穷秀才的回应:将这些数学知识用在艺术创作上会不会更能产生美感
    [0] 评论
  • 16楼
    2011-08-08 19:08 空间了上空间的

    天哪,看不懂啊。今天的晚饭白吃了

    [0] 评论
  • 17楼
    2011-08-08 19:43 kid271 [0] 评论
  • 18楼
    2011-08-08 19:45 严酷的魔王 统计学专业本科生,数学控

    喜欢均值不等式那个~
    还真的没想到这种证明方法~

    [1] 评论
  • 19楼
    2011-08-08 20:03 骑车的螳螂

    数学奇差的人泪流满面……

    [0] 评论
  • 20楼
    2011-08-08 20:38 Shawphy

    刚开始看就觉得这是《Proofs without words》,看到最后果然是这本……

    [1] 评论
  • 21楼
    2011-08-08 21:41 spiriTs

    觉得好赞。。平方和的那个赞。

    [0] 评论
  • 22楼
    2011-08-08 22:12 玛雅蓝 翻译爱好者,MOOC学习者

    第三个强大……

    [0] 评论
  • 23楼
    2011-08-08 22:22 方程 应用数学专业

    平方数求和那个震惊了!!以前以为那是只可数学归纳法证明的、不可以直接推导的定理!!开眼界了!!

    [0] 评论
  • 24楼
    2011-08-08 22:27 方程 应用数学专业

    《等于三分之一》的那图,我怎么想起了任天堂游戏《塞尔达传说》的众神之三角力量?

    [0] 评论
  • 25楼
    2011-08-08 22:30 呢优牛

    太精彩了

    [0] 评论
  • 26楼
    2011-08-08 22:31 Ekoms 数学/化学爱好者

    Proofs without words +1

    话说程序猿们有没有觉得编号从0开始很亲切~~

    [2] 评论
  • 27楼
    2011-08-08 22:52 wabgreat

    都很强大,虽然有些好像错了...

    [0] 评论
  • 28楼
    2011-08-09 10:19 None

    这个蛮让人思考的 ,挺不错的

    [0] 评论
  • 29楼
    2011-08-09 11:09 蘑菇兔 心理学控,人类性行为研究爱好者

    经典病句:”那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住?我可以告诉你答案是肯定的“。
    你肯定是还是肯定否

    [0] 评论
  • 30楼
    2011-08-09 11:38 桃桃大娘

    太赞了!!第三个证明以前只知道用不完全归纳法,第二个证明,应该可以直接用等面积得到那条边长度为ab的平方根,从而得到所证。还有从平面到立体的变换,真的开眼界了!PS:第一次知道勾股定理有367种证明!!

    [0] 评论

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